Внешняя алгебра

алгебра Грассма-н а, векторного пространства Vнад полем k - ассоциативная алгебра над k, операция в к-рой обозначается знаком [img: http://localhost:8080/file/010316-356.jpg], порождающими элементами к-рой являются [img: http://localhost:8080/file/010316-357.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010316-358.jpg] - базис пространства V, а определяющие соотношения имеют вид [img: http://localhost:8080/file/010316-359.jpg] В. а. не зависит от выбора базиса и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010316-360.jpg] Подпространство [img: http://localhost:8080/file/010316-361.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010316-362.jpg], порожденное элементами вида [img: http://localhost:8080/file/010316-363.jpg] наз. r-й внешней степенью пространства V. Имеют место равенства: [img: http://localhost:8080/file/010316-364.jpg] Кроме того, [img: http://localhost:8080/file/010316-365.jpg] Элементы пространства [img: http://localhost:8080/file/010316-366.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/010316-367.jpg] -векторами; их можно понимать также как кососимметрические г раз контраварнантные тензоры в V(см. Внешнее произведение). r-векторы тесно связаны с r-мерными подпространствами в V: линейно независимые системы векторов [img: http://localhost:8080/file/010316-368.jpg] н [img: http://localhost:8080/file/010316-369.jpg] из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы [img: http://localhost:8080/file/010316-370.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010316-371.jpg] пропорциональны. Этот факт был одним из отправных пунктов в исследованиях Г. Грассмана [1], к-рый ввел В. а. как алгебраич. аппарат для описания порождения многомерных подпространств одномерными. С помощью В. а. легко строится теория определителей. В. а. может быть определена и для более общих объектов, а именно, для унитарных модулей Мнад коммутативным кольцом А с единицей (см. [4]). r-я внешняя степень [img: http://localhost:8080/file/010316-372.jpg] модуля Мопределяется как фактормодуль r-й тензорной степени этого модуля по подмодулю, порожденному элементами вида [img: http://localhost:8080/file/010316-373.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010316-374.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010316-375.jpg] для нек-рых [img: http://localhost:8080/file/010316-376.jpg] В. а. для Мопределяется как прямая сумма [img: http://localhost:8080/file/010316-377.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010316-378.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010316-379.jpg] с естественно введенным умножением. В случае конечномерного векторного пространства это определение совпадает с первоначальным. В. а. модуля находит применение в теории модулей над кольцом главных идеалов (см. [5]). Грассмaновыми (или плюккеровыми) координатами r-мерного подпространства Lв гс-мерном пространстве Vнад kназ. координаты r-вектора в V, соответствующего L, к-рый определен с точностью до пропорциональности. С помощью грасс-мановых координат множество всех r-мерных подпространств в Vестественным образом вкладывается в проективное пространство размерности [img: http://localhost:8080/file/010316-380.jpg] и оказывается там алгебраич. многообразием (наз. Грассмана многообразием). Этот метод позволяет построить целый ряд важных примеров проективных алгебраич. многообразий [6]. В форме исчисления внешних дифференциальных форм В. а. используется в качестве одного из основных формализмов в дифференциальной геометрии (см. [8], [7]). В терминах В. а. формулируются многие важные результаты алгебраич. топологии. Например, если G - конечномерное H-пространство (например, группа Ли), то алгебра [img: http://localhost:8080/file/010317-1.jpg] когомологий пространства Gс коэффициентами в поле kхарактеристики нуль является В. а. с образующими нечетных степеней. Если G - односвязная компактная группа Ли, то В. а. (над кольцом целых чисел) является также кольцо [img: http://localhost:8080/file/010317-2.jpg], изучаемое в К-те-ории.