Внутренних вариаций метод

- метод в теории функций комплексного переменного, используемый при решении экстремальных задач на классах однолистных и многолистных аналитич. функций. Преимущества В. в. м. связаны с тем, что при выводе лежащих в его основе вариационных формул не делается предположений о поведении варьируемых функций на границе области Dих задания, а сами вариационные формулы являются следствием единообразного изменения функций класса на внутренних подмножествах из D. Для однолистных функций в круге [img: http://localhost:8080/file/010317-90.jpg] В. в. м. был предложен М. Шиффером [1] и, в более усовершенствованной и развитой форме, Г. М. Голузиным [2]. В применении к классу Sфункций f(z)=z+c2z2... голоморфных и однолистных в Е, ими была установлена основная вариационная формула: [img: http://localhost:8080/file/010317-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010317-92.jpg] - фиксированные точки в круге [img: http://localhost:8080/file/010317-93.jpg] - произвольные комплексные постоянные, а [img: http://localhost:8080/file/010317-94.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010317-95.jpg] стремится к нулю равно-иерно относительно z внутри Е. Иными словами, в классе S, не образующем к.-л. линейного пространства, для каждой функции [img: http://localhost:8080/file/010317-96.jpg] указывается однопараметрическое семейство [img: http://localhost:8080/file/010317-97.jpg] функций этого же класса такое, что на любом замкнутом множестве в Еразложение [img: http://localhost:8080/file/010317-98.jpg] по степеням [img: http://localhost:8080/file/010317-99.jpg] дается записанной выше формулой. Аналогичные формулы (с оценкой порядка малости остаточного члена внутри соответствующей области) имеют место и для других классов аналитич. функций. Характерной чертой В. в. м. является возможность, исходя из вариационных формул, получить для граничних или экстремальных функций дифференциальное уравнение. Его исследование с использованием ана-литнч. теории дифференциальных уравнений приводит к важным качественным результатам, а в ряде случаев -к полному решению экстремальной проблемы. В. в. м. нашел успешное применение в задачах о неналегающих областях; он стал составной частью так наз. вариационно-параметрического метода (см. [3]).