Восстановления теория

- раздел теории вероятностей, описывающий широкий круг явлений, связанных с отказом и восстановлением элементов какой-либо системы. Основные понятия в В. т.- понятия процесса восстановления и уравнения восстановления. Процесс восстановления описывается с помощью классич. схемы сумм независимых случайных величин следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010319-97.jpg] - последовательность независимых, неотрицательных, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F(x). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010319-98.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010319-99.jpg]. Процесс восстановления [img: http://localhost:8080/file/010319-100.jpg] определяется следующим образом [img: http://localhost:8080/file/010319-101.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010319-102.jpg] интерпретировать как длительности работы к.-л. последовательно заменяемых элементов, то случайная величина Nt равна числу замен (или восстановлений) этих элементов за время t. При исследовании [img: http://localhost:8080/file/010319-103.jpg] большую роль играет функция восстановления [img: http://localhost:8080/file/010319-104.jpg]. Эта функция удовлетворяет уравнению восстановления: [img: http://localhost:8080/file/010319-105.jpg] В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010319-106.jpg] имеет место важный частный случай процесса восстановления - пуассоновский процесс, в к-ром [img: http://localhost:8080/file/010319-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010319-108.jpg] Процесс восстановления [img: http://localhost:8080/file/010319-109.jpg] и уравнение восстановления (2) имеют большое значение при исследовании различных задач как прикладного, так и теоретич. характера в теории массового обслуживания, в теории надежности, в теории запасов, в теории ветвящихся, процессов и т. п. Значительное количество результатов в В. т. связано с изучением асимптотических при [img: http://localhost:8080/file/010319-110.jpg] свойств функции восстановления [img: http://localhost:8080/file/010319-111.jpg]. В элементарной теореме восстановления утверждается, что [img: http://localhost:8080/file/010319-112.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010319-113.jpg]. Д. Блэкуэлл (D. Blackwell, 1948) доказал (см. [1]), что в случае, если распределение [img: http://localhost:8080/file/010319-114.jpg] не сосредоточено на к.-л. арпфметич. решетке вида [img: http://localhost:8080/file/010319-115.jpg] d>0, то при любом h>0 [img: http://localhost:8080/file/010319-116.jpg] Имеются многочисленные результаты, обобщающие и уточняющие (3) и (4) в различных направлениях. С помощью результатов типа (3) и (4) изучаются асимптотич. свойства решения Х(t) уравнения типа восстановления: [img: http://localhost:8080/file/010319-117.jpg] в к-ром свободный член K(t).есть нек-рая функция, отличная от F(t).и удовлетворяющая тем или иным условиям. Из определения (1) вытекает соотношение [img: http://localhost:8080/file/010319-118.jpg] Поскольку предельные теоремы для сумм [img: http://localhost:8080/file/010319-119.jpg] независимых слагаемых хорошо изучены, то соотношение (5) позволяет получать предельные теоремы для числа восстановлений Nt. Имеется большое количество обобщений изложенной выше схемы. Одно из таких обобщений, связанное с полумарковскими процессами, дает так наз. марковский процесс восстановления, в к-ром система имеет какое-то количество состояний и времена работы отдельных элементов являются случайными величинами, зависящими от состояний системы до и после момента восстановления.