Вторая вариация

частный случай n-той вариации функционала (см. также Гато вариация), обобщающий понятие второй производной функции нескольких переменных; используется в вариационном исчислении. Согласно общему определению В. в. в точке х 0 функционала f(x), определенного в нормированном пространстве X, есть [img: http://localhost:8080/file/010320-133.jpg] При равенстве нулю первой вариации неотрицательность В. в. является необходимым, а строгая положительность [img: http://localhost:8080/file/010320-134.jpg] при нек-рых допущениях - достаточным условием локального минимума [img: http://localhost:8080/file/010320-135.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010320-136.jpg]. В простейшей (векторной) задаче классического вариационного исчисления В. в. функционала [img: http://localhost:8080/file/010320-137.jpg] (рассматриваемого на векторных функциях класса [img: http://localhost:8080/file/010320-138.jpg] с закрепленными краевыми значениями [img: http://localhost:8080/file/010320-139.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010320-140.jpg]) имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010320-141.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010320-142.jpg] означает стандартное скалярное произведение в [img: http://localhost:8080/file/010320-143.jpg] - матрицы с коэффициентами соответственно (производные вычисляются [img: http://localhost:8080/file/010320-144.jpg] в точках кривой [img: http://localhost:8080/file/010320-145.jpg]). Целесообразно рассматривать функционал от h, определяемый формулой (*), не только в пространстве С 1, но и на более широком пространстве [img: http://localhost:8080/file/010320-146.jpg] абсолютно непрерывных векторных функций с интегрируемым квадратом модуля производной. В этом случае неотрицательность и строгая положительность В. в. формулируются в терминах неотрицательности и строгой положительности матрицы [img: http://localhost:8080/file/010320-147.jpg] (Лежандра условие).и отсутствия српряженных точек (Якоби условие), что дает условия слабого минимума в вариационном исчислении. Для вариационного исчисления в целом было проведено исследование В. в. для экстремалей-, не обязательно доставляющих минимум (однако, по-прежнему,- при выполнении условия Лежандра, см. [1]). Важнейший результат - совпадение Морса индекса В. в. и числа точек, сопряженных с [img: http://localhost:8080/file/010320-148.jpg], на интервале [img: http://localhost:8080/file/010320-149.jpg] (см. [2]).