Выметания метод

- метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, развитый А. Пуанкаре (см. [1], [2], а также [4]) и состоящий в следующем. Пусть D - ограниченная область евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010321-208.jpg] - граница D. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010321-209.jpg] - мера Дирака, сосредоточенная в точке [img: http://localhost:8080/file/010321-210.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010321-211.jpg] - ньютонов потенциал меры [img: http://localhost:8080/file/010321-212.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010321-213.jpg] или логарифмический потенциал меры [img: http://localhost:8080/file/010321-214.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010321-215.jpg]. Выметанием меры [img: http://localhost:8080/file/010321-216.jpg] из области Dна границу Г наз. такая мера [img: http://localhost:8080/file/010321-217.jpg] на Г, потенциал к-рой [img: http://localhost:8080/file/010321-218.jpg] совпадает вне Dс [img: http://localhost:8080/file/010321-219.jpg], а внутри Dне превосходит [img: http://localhost:8080/file/010321-220.jpg]; эта мера [img: http://localhost:8080/file/010321-221.jpg] единственна и совпадает с гармонической мерой на Г для точки [img: http://localhost:8080/file/010321-222.jpg]. Аналогично определяется выметание произвольной положительной меры, сосредоточенной на D. Если D - шар, то плотность распределения масс [img: http://localhost:8080/file/010321-223.jpg], т. е. производная меры [img: http://localhost:8080/file/010321-224.jpg], есть не что иное, как ядро Пуассона (см. Пуассона интеграл). Вообще, если граница Г достаточно гладкая, то мера [img: http://localhost:8080/file/010321-225.jpg] абсолютно непрерывна и плотность распределения масс [img: http://localhost:8080/file/010321-226.jpg] совпадает с нормальной производной Грина функции для D. При помощи меры by, решение задачи Дирихле записывается в виде так наз. формулы Валле Пуссена: [img: http://localhost:8080/file/010321-227.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010321-228.jpg] - заданная на Г функция. А. Пуанкаре в первоначальном изложении В. м. указывал сначала геометрич. конструкцию процесса выметания для шара; затем, опираясь на Гарнака теоремы и на возможность исчерпания области Dпоследовательностью шаров [img: http://localhost:8080/file/010321-229.jpg], он строил бесконечную последовательность потенциалов [img: http://localhost:8080/file/010321-230.jpg], в к-рой каждый потенциал [img: http://localhost:8080/file/010321-231.jpg] получается из предыдущего [img: http://localhost:8080/file/010321-232.jpg] выметанием масс из области [img: http://localhost:8080/file/010321-233.jpg] на ее границу и к-рая сходится к решению задачи Дирихле для достаточно гладкой области D(подробное исследование условий применимости В. м. см. в [3]). В современной теории потенциала (см. [5], [6]) проблема выметания трактуется как самостоятельная задача, близкая к задаче Дирихле, причем оказывается возможным рассматривать выметания мер на множества довольно общей природы. Таким образом, в простейшей постановке проблема выметания состоит в нахождении по заданному распределению масс m, внутри замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/010321-234.jpg] такого распределения масс [img: http://localhost:8080/file/010321-235.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010321-236.jpg], чтобы вне [img: http://localhost:8080/file/010321-237.jpg] потенциалы обоих распределений совпадали. Решением этой проблемы выметания меры [img: http://localhost:8080/file/010321-238.jpg] в случае гладкой границы Г будет абсолютно непрерывная мера [img: http://localhost:8080/file/010321-239.jpg]. Ее плотность, или производная [img: http://localhost:8080/file/010321-240.jpg] записывается при помощи функции Грина [img: http://localhost:8080/file/010321-241.jpg] области Dв виде [img: http://localhost:8080/file/010321-242.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010321-243.jpg] - производная от [img: http://localhost:8080/file/010321-244.jpg] по направлению внутренней нормали к Г в точке [img: http://localhost:8080/file/010321-245.jpg]. Внутри области Dдля потенциалов имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/010321-246.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010321-247.jpg] т. е. при выметании внутри области потенциал может только убывать. Если [img: http://localhost:8080/file/010321-248.jpg] - мера Дирака, сосредоточенная в точке [img: http://localhost:8080/file/010321-249.jpg], то формула (*) дает [img: http://localhost:8080/file/010321-250.jpg], т. е. нормальная производная функции Грина есть плотность меры, полученной выметанием единичной массы, сосредоточенной в точке [img: http://localhost:8080/file/010321-251.jpg]. Обобщая формулу (*), получают выражение выметенной меры [img: http://localhost:8080/file/010321-252.jpg] любого борелевского множества [img: http://localhost:8080/file/010321-253.jpg] в случае произвольной области D: [img: http://localhost:8080/file/010321-254.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010321-255.jpg] - гармоническая мера множества Еотносительно области Dв точке х. Если К - произвольный компакт в [img: http://localhost:8080/file/010321-256.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010321-257.jpg] - ограниченная положительная борелевская мера, то выметанием меры [img: http://localhost:8080/file/010321-258.jpg] на компакт Кназ. такая мера [img: http://localhost:8080/file/010321-259.jpg], сосредоточенная на К, что всюду [img: http://localhost:8080/file/010321-260.jpg] и кваз и всюду на К, т. е. за возможным исключением множества точек внешней емкости нуль, [img: http://localhost:8080/file/010321-261.jpg]. Эта постановка проблемы выметания, более общая по сравнению с выметанием из области, распространяется и на потенциалы других видов, напр, на бесселевы потенциалы, Рисса потенциалы. Рассматриваются также выметания мер на произвольные борелевские множества K. Близкой к этой постановке является проблема выметания для су пер гармонических функций. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010321-262.jpg] - неотрицательная супергармонич. функция в области [img: http://localhost:8080/file/010322-1.jpg]. Выметанием для функции vна компакт [img: http://localhost:8080/file/010322-2.jpg] наз. наибольшая супергармонич. функция [img: http://localhost:8080/file/010322-3.jpg] такая, что: 1) ее ассоциированная мера сосредоточена на К;2) всюду [img: http://localhost:8080/file/010322-4.jpg]; 3) [img: http://localhost:8080/file/010322-5.jpg] квазнвсюду на К. В потенциала теории абстрактной проблема выметания в обеих постановках получаст решение для множеств Кв произвольных гармонических пространствах X, т. е. в таких локально компактных топологич. пространствах X, к-рые допускают выделение аксиоматически определенного пучка гармонич. функций. Этот аксиоматич. подход позволяет рассматривать проблему выметания для потенциалов, связанных с дифференциальными уравнениями с частными производными более общей природы (см. [7]).