Вынуждения метод

форсинг-метод,- особый способ доказательства существования моделей аксиоматич. теорий, предложенный П. Козном в 1963 для доказательства совместимости отрицания континуум-гипотезы щСН и других теоретико-множественных предложений с аксиомами системы Цермело - Френкеля ZF (см. [1]). В дальнейшем В. м. был упрощен и модернизирован (см. [2]-[6]); выявилась, в частности, связь этого метода с теорией булееозначных моделей (см. [2), [3]) и моделями Крипке (см. [6]). Центральным понятием В. м. является отношение вынуждения [img: http://localhost:8080/file/010322-6.jpg] ("условие рвынуждает формулу [img: http://localhost:8080/file/010322-7.jpg] "). Определению отношения вынуждения предшествует фиксирование нек-рого языка Lи частично упорядоченного множества Рвынуждающих условий р с отношением порядка [img: http://localhost:8080/file/010322-8.jpg]. Язык Lможет содержать переменные и константы разных сортов (или типов). Построение модели ZF, предложенное П. Козном, в к-рой нарушается континуум-гипотеза, выглядит следующим образом. Множество Мназ. транзитивным, если [img: http://localhost:8080/file/010322-9.jpg] Пусть М - счетное транзитивное множество, являющееся моделью ZF, и [img: http://localhost:8080/file/010322-10.jpg] - ординальное (по Нейману) число, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010322-11.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010322-12.jpg] - произвольное множество (возможно, что [img: http://localhost:8080/file/010322-13.jpg]), где [img: http://localhost:8080/file/010322-14.jpg] - первое бесконечное ординальное число. Если X - транзитивное множество, то пусть Def (X).обозначает множество всех X-определимых подмножеств (см. Конструктивное по Гёделю множество), т. е. [img: http://localhost:8080/file/010322-15.jpg].С помощью процесса, аналогичного построению конструктивных по Гёделю множеств, для каждого ординального числа [img: http://localhost:8080/file/010322-16.jpg], дуктивно определяется множество [img: http://localhost:8080/file/010322-17.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010322-18.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010322-19.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010322-20.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010322-21.jpg] - ординал [img: http://localhost:8080/file/010322-22.jpg]. Модель ZF, в к-рой нарушается континуум-гипотеза, ищется среди моделей вида М[А]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010322-23.jpg] - ординал такой, что в Мистинно утверждение: [img: http://localhost:8080/file/010322-24.jpg] есть второй несчетный ординал. Множество вынуждающих условий Ри отношение [img: http://localhost:8080/file/010322-25.jpg] определяются эквивалентностями: а) [img: http://localhost:8080/file/010322-26.jpg] -функция, определенная на век-ром конечном подмножестве множества [img: http://localhost:8080/file/010322-27.jpg], со значениями в множестве [img: http://localhost:8080/file/010322-28.jpg]) [img: http://localhost:8080/file/010322-29.jpg] есть продолжение р. В качестве языка Lберется так наз. разветвленный язык, имеющий много типов переменных (для каждого [img: http://localhost:8080/file/010322-30.jpg] свой тип переменных, пробегающих множество [img: http://localhost:8080/file/010322-31.jpg]) и содержащий имена (т. е. индивидные константы) для каждого множества из [img: http://localhost:8080/file/010322-32.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010322-33.jpg], то имя хобозначается через [img: http://localhost:8080/file/010322-34.jpg]. Пусть а - имя множества А. Отношение вынуждения [img: http://localhost:8080/file/010322-35.jpg] вводится индуктивным определением, имеющим, в частности, следующие характерные пункты: [img: http://localhost:8080/file/010322-36.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010322-37.jpg] - тип переменной х, то [img: http://localhost:8080/file/010322-38.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010322-39.jpg] - множество всех констант типа [img: http://localhost:8080/file/010322-40.jpg]. Последовательность вынуждающих условий [img: http://localhost:8080/file/010322-41.jpg] наз. полной, если для всякой замкнутой формулы [img: http://localhost:8080/file/010322-42.jpg] языка Lимеет место [img: http://localhost:8080/file/010322-43.jpg] Счетность множества всех замкнутых формул языка Lи пункт (2) определения отношения вынуждения позволяют доказать существование полной последовательности, начиная с любого р 0. Множество А, содержащееся в [img: http://localhost:8080/file/010322-44.jpg], наз. генерическим относительно модели М, если существует такая полная последовательность, что [img: http://localhost:8080/file/010322-45.jpg] есть характеристич. функция [img: http://localhost:8080/file/010322-46.jpg] множества А. Фундаментальное значение имеют следующие два факта о генерических множествах и отношении вынуждения. I. Если А - генернческое множество, то [img: http://localhost:8080/file/010322-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010322-48.jpg] означает, что формула [img: http://localhost:8080/file/010322-49.jpg] истинна в М[А]. II. Отношение [img: http://localhost:8080/file/010322-50.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010322-51.jpg] - константы L, рассматриваемое как отношение между р, c1,..., с n выразимо в модели М. В силу этих фактов, для доказательства того, что М[A]| = j, достаточно показать истинность в модели Мутверждения [img: http://localhost:8080/file/010322-52.jpg] На этом основана проверка справедливости в модели М[А]аксиом ZF и [img: http://localhost:8080/file/010322-53.jpg]. При проверке [img: http://localhost:8080/file/010322-54.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010322-55.jpg] используется также специфика множества вынуждающих условий, позволяющая доказать, что: 1) если ординалы [img: http://localhost:8080/file/010322-56.jpg] различны, то [img: http://localhost:8080/file/010322-57.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010322-58.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/010322-59.jpg] Укажем, как отношение вынуждения связано с булевозначными моделями. Если ввести обозначения [img: http://localhost:8080/file/010322-60.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010322-61.jpg] есть полная булева алгебра и [img: http://localhost:8080/file/010322-62.jpg] есть булево значение формулы [img: http://localhost:8080/file/010322-63.jpg]. Таким образом, задание частично упорядоченного множества [img: http://localhost:8080/file/010322-64.jpg] и определение отношения [img: http://localhost:8080/file/010322-65.jpg] оказываются равносильными построению нек-рой булевозначной модели [img: http://localhost:8080/file/010322-66.jpg]. Анализ доказательства утверждений вида: [img: http://localhost:8080/file/010322-67.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010322-68.jpg] - аксиома [img: http://localhost:8080/file/010322-69.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010322-70.jpg], позволяет заключить, что формулы [img: http://localhost:8080/file/010322-71.jpg], выражающие утверждение: [img: http://localhost:8080/file/010322-72.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010322-73.jpg] выводимы из аксиом [img: http://localhost:8080/file/010322-74.jpg]. Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/010322-75.jpg] есть B-модель для [img: http://localhost:8080/file/010322-76.jpg], построенная средствами ZF. Предположение о существовании счетного транзитивного множества, являющегося моделью ZF, равно как и понятие генерического множества, оказываются несущественными для целей доказательства относительной непротиворечивости. Выяснилось, что построение булевозначной модели можно упростить (см. [2], [3], [5]). В частности, введение разветвленного языка Lне является обязательным. Возможен следующий способ построения генерической модели М[А](см. [4]). Подмножество Xчастично упорядоченного множества [img: http://localhost:8080/file/010322-77.jpg] наз. плотным, если [img: http://localhost:8080/file/010322-78.jpg] Пусть Ри отношение [img: http://localhost:8080/file/010322-79.jpg] суть элементы нек-рого счетного транзитивного множества М, являющегося моделью ZF. Подмножество [img: http://localhost:8080/file/010322-80.jpg] наз. M-генерическим фильтром, если: [img: http://localhost:8080/file/010322-81.jpg] Пусть Gесть Л/-генернческий фильтр на Р. Так как Мсчетно, то Gсуществует. Вообще говоря, [img: http://localhost:8080/file/010322-82.jpg]. Отношение [img: http://localhost:8080/file/010322-83.jpg] определяется эквивалентностью [img: http://localhost:8080/file/010322-84.jpg] где хи у - произвольные элементы модели М. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010322-85.jpg] определена на Мравенством [img: http://localhost:8080/file/010322-86.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010322-87.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010322-88.jpg] - замкнутая формула языка ZF, пополненного константами для обозначения каждого множества из М, то положим [img: http://localhost:8080/file/010322-89.jpg] (G есть М-генерический фильтр [img: http://localhost:8080/file/010322-90.jpg]) Можно показать, что I. [img: http://localhost:8080/file/010322-91.jpg] II. Отношение [img: http://localhost:8080/file/010322-92.jpg] определимо в модели Мдля каждой формулы [img: http://localhost:8080/file/010322-93.jpg]. Используя только I, II и тот факт, что М - модель ZF, можно установить, что NQ - модель ZF. Если Ропределено эквивалентностями (а).и (6), то [img: http://localhost:8080/file/010322-94.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010322-95.jpg] есть характеристич. функция нек-рого множества [img: http://localhost:8080/file/010322-96.jpg] п [img: http://localhost:8080/file/010322-97.jpg]. Определимое в Мотношение [img: http://localhost:8080/file/010322-98.jpg] не удовлетворяет пунктам (3) и (5) определения П. Коэна отношения вынуждения. Имеет место [img: http://localhost:8080/file/010322-99.jpg] Полагая [img: http://localhost:8080/file/010322-100.jpg] получим определимую в Мбулевозначную модель для [img: http://localhost:8080/file/010322-101.jpg] с той же булевой алгеброй [img: http://localhost:8080/file/010322-102.jpg], что и в случае П. Коэна. Таким образом, В. м. состоит фактически в построении В-модели и гомоморфизма, сохраняющего нек-рые бесконечные объединения и пересечения алгебры [img: http://localhost:8080/file/010322-103.jpg], в двухэлементную алгебру [img: http://localhost:8080/file/010322-104.jpg] (о применениях В. м. в теории множеств см., напр., [2]).