Выпуклая метрика

- внутренняя метрика на двумерном многообразии М, удовлетворяющая нек-рому условию выпуклости. Точнее, пусть lи m две кратчайшие, исходящие из нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/010322-141.jpg], Xи Y - точки на них, х, у - расстояние от Одо X, Y, z - расстояние между [img: http://localhost:8080/file/010322-142.jpg] - угол в плоском треугольнике со сторонами, равными х, у, z, лежащий против стороны, равной z. Условие выпуклости метрики (в точке О).состоит в том, что [img: http://localhost:8080/file/010322-143.jpg] является невозрастающей функцией (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010322-144.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010322-145.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010322-146.jpg]) на всякой паре промежутков [img: http://localhost:8080/file/010322-147.jpg] такой, что точки Xи Y, соответствующие любым двум значением из этих промежутков, можно соединить кратчайшей. Внутренняя метрика является В. м. тогда и только тогда, когда она есть метрика неотрицательной кривизны. Метрика выпуклой поверхности является В. м. Обратно, любое двумерное многообразие с В. м. реализуется в виде выпуклой поверхности (теорема А. Д. Александрова).