Выпуклая функция

комплексного переменногог- регулярная однолистная функция [img: http://localhost:8080/file/010323-44.jpg] в единичном круге [img: http://localhost:8080/file/010323-45.jpg], отображающая единичный круг на нек-рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция [img: http://localhost:8080/file/010323-46.jpg] является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности [img: http://localhost:8080/file/010323-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010323-48.jpg] касательная к образу [img: http://localhost:8080/file/010323-49.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010323-50.jpg] вращается в одном и том же направлении. Следующее неравенство выражает необходимое и достаточное условно выпуклости [img: http://localhost:8080/file/010323-51.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010323-52.jpg] С другой стороны, для того чтобы [img: http://localhost:8080/file/010323-53.jpg] была В. ф., необходимо и достаточно, чтобы она допускала следующее параметрич. представление: [img: http://localhost:8080/file/010323-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010323-55.jpg] - неубывающая действительная функция па отрезке [img: http://localhost:8080/file/010323-56.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/010323-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010323-58.jpg] - комплексные постоянные, [img: http://localhost:8080/file/010323-59.jpg] Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Кристоффеля - Шварца формулы для отображения круга Ена выпуклые многоугольники. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010323-60.jpg] - класс всех В. ф. в Е, нормированных условиями [img: http://localhost:8080/file/010323-61.jpg] суть подклассы класса [img: http://localhost:8080/file/010323-62.jpg], состоящие из функций, отображающих Есоответственно на выпуклые области плоскости wс р-кратной симметрией вращения относительно точки [img: http://localhost:8080/file/010323-63.jpg] Классы [img: http://localhost:8080/file/010323-64.jpg] компактны в себе относительно равномерной сходимости внутри Е. Их интегральные представления, в частности формула (2) для [img: http://localhost:8080/file/010323-65.jpg], позволяют развить вариационные методы решения экстремальных задач на классах [img: http://localhost:8080/file/010323-66.jpg] (см. [2] - [5]). Основные экстремальные свойства класса [img: http://localhost:8080/file/010323-67.jpg] характеризуются следующими неулучшаемыми неравенствами: [img: http://localhost:8080/file/010323-68.jpg] под аргументом функции понимается ветвь, обращающаяся в нуль при [img: http://localhost:8080/file/010323-69.jpg]. Во всех этих оценках знак равенства имеет место только для функции' [img: http://localhost:8080/file/010323-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010323-71.jpg]. Для отношения [img: http://localhost:8080/file/010323-72.jpg] кривизны [img: http://localhost:8080/file/010323-73.jpg] границы [img: http://localhost:8080/file/010323-74.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/010323-75.jpg] на классе [img: http://localhost:8080/file/010323-76.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010323-77.jpg] к кривизне [img: http://localhost:8080/file/010323-78.jpg] прообраза [img: http://localhost:8080/file/010323-79.jpg] т. е. окружности [img: http://localhost:8080/file/010323-80.jpg], в точке z имеются также неулучшаемые оценки. Областям [img: http://localhost:8080/file/010323-81.jpg], принадлежит круг [img: http://localhost:8080/file/010323-82.jpg] причем радиус этого круга не. может быть увеличен без дополнительных ограничений на класс функций. Если [img: http://localhost:8080/file/010323-83.jpg], то однолистная функция [img: http://localhost:8080/file/010323-84.jpg] звездообразна в круге Е, т. е. отображает Ена область, звездную относительно начала координат. Примерами обобщения и видоизменения класса [img: http://localhost:8080/file/010323-85.jpg] и его подклассов являются: класс [img: http://localhost:8080/file/010323-86.jpg] однолистных в [img: http://localhost:8080/file/010323-87.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/010323-88.jpg] регулярных при [img: http://localhost:8080/file/010323-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010323-90.jpg] и отображающих [img: http://localhost:8080/file/010323-91.jpg] на области с выпуклыми дополнениями; класс [img: http://localhost:8080/file/010323-92.jpg] регулярных в кольце [img: http://localhost:8080/file/010323-93.jpg] нормированных определенным образом функций [img: http://localhost:8080/file/010323-94.jpg], каждая из к-рых однолистно отображает это кольцо в такую область, что конечная компонента ее дополнения выпукла и ее объединение с этой компонентой также выпукло; класс [img: http://localhost:8080/file/010323-95.jpg] функций из [img: http://localhost:8080/file/010323-96.jpg] с действительными коэффициентами разложений Тейлора в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010323-97.jpg]. Понятие В. ф. распространяется и на многолистные функции (см. [2], добавление). Самостоятельный интерес представляет следующее обобщение В. ф. (см. [6]): регулярная в круге Ефункция [img: http://localhost:8080/file/010323-98.jpg] наз. близкой к выпуклой, если существует в ЕВ. ф. [img: http://localhost:8080/file/010323-99.jpg] такая, что всюду в Е [img: http://localhost:8080/file/010323-100.jpg] Для класса Квсех таких функций f(z) доказана однолистность, найдены необходимые и достаточные условия принадлежности функции f(z) классу Ки параметрич. представление функций [img: http://localhost:8080/file/010323-101.jpg] при помощи интегралов Стилтьеса: [img: http://localhost:8080/file/010323-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010323-103.jpg] - неубывающие действительные функции, [img: http://localhost:8080/file/010323-104.jpg] Класс Квключает в себя выпуклые, звездные и другие функции. Для функций [img: http://localhost:8080/file/010323-105.jpg] справедлива Бибербаха гипотеза: [img: http://localhost:8080/file/010323-106.jpg] известны неулучшаемые оценки: [img: http://localhost:8080/file/010323-107.jpg] под аргументом функции понимается ветвь, обращающаяся в нуль при [img: http://localhost:8080/file/010323-108.jpg]. Во всех этих оценках знак равенства имеет место только для функции [img: http://localhost:8080/file/010323-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010323-110.jpg]. Геометрически функции [img: http://localhost:8080/file/010323-111.jpg] класса Кхарактеризуются тем, что они отображают круг Ена области D(f), внешность к-рых [img: http://localhost:8080/file/010323-112.jpg] может быть заполнена лучами L, проведенными из точек границы области, [img: http://localhost:8080/file/010323-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010323-114.jpg] Понятие функции, близкой к выпуклой, распространено на многолистные функции (см. [7]).