Выпуклый функционал

- функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал f, не принимающий значений, равных [img: http://localhost:8080/file/010324-1.jpg] на выпуклом множестве А, будет выпуклым на Атогда и только тогда, когда выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010324-2.jpg] При обратном знаке неравенства функционал f наз. вогнутым. Операциями, переводящими В. ф. в В. ф., являются, напр., сложение [img: http://localhost:8080/file/010324-3.jpg] умножение на положительное число, взятие верхней грани [img: http://localhost:8080/file/010324-4.jpg] инфимальная конволюция [img: http://localhost:8080/file/010324-5.jpg] В. ф., ограниченный сверху в окрестности нек-рой точки х, является непрерывным в этой точке. Если В. ф. конечен в нек-рой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке. Замкнутые В. ф. (т. е. функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологич. пространствах допускают двойственное описание: они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым В. ф. двойственный объект, сопряженный функционал: [img: http://localhost:8080/file/010324-6.jpg] Свойства В. ф., операции над ними, взаимосвязи В. ф. и их сопряженных и т. п. изучаются в выпуклом анализе.