Вырожденная гипергеометрическая функция

функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения [img: http://localhost:8080/file/010324-22.jpg] В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера: [img: http://localhost:8080/file/010324-23.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010324-24.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010324-25.jpg] - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме [img: http://localhost:8080/file/010324-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010324-27.jpg] - комплексное переменное. Функция [img: http://localhost:8080/file/010324-28.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010324-29.jpg] наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1) [img: http://localhost:8080/file/010324-30.jpg] наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода. В. г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010324-31.jpg] - целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z - целая функция [img: http://localhost:8080/file/010324-32.jpg] и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках [img: http://localhost:8080/file/010324-33.jpg] В. г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010324-34.jpg] - аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом [img: http://localhost:8080/file/010324-35.jpg] и целая функция [img: http://localhost:8080/file/010324-36.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010324-37.jpg]. В. г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010324-38.jpg] связана с гипергеометрической функцией [img: http://localhost:8080/file/010324-39.jpg] соотношением [img: http://localhost:8080/file/010324-40.jpg] Элементарные соотношения. Четыре функции [img: http://localhost:8080/file/010324-41.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010324-42.jpg] наз. смежными с функцией [img: http://localhost:8080/file/010324-43.jpg]. Между [img: http://localhost:8080/file/010324-44.jpg] и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр., [img: http://localhost:8080/file/010324-45.jpg] Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию [img: http://localhost:8080/file/010324-46.jpg] с ассоциированными функциями [img: http://localhost:8080/file/010324-47.jpg] где тип - целые числа. Формула дифференцирования: [img: http://localhost:8080/file/010324-48.jpg] Основные интегральные представления: [img: http://localhost:8080/file/010324-49.jpg] Асимптотич. поведение В. г. ф. при [img: http://localhost:8080/file/010324-50.jpg] может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] - [3]). Если [img: http://localhost:8080/file/010324-51.jpg], в то время как [img: http://localhost:8080/file/010324-52.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010324-53.jpg] ограничены, то поведение функции [img: http://localhost:8080/file/010324-54.jpg] описывается формулой (2). В частности, при больших [img: http://localhost:8080/file/010324-55.jpg] и ограниченных [img: http://localhost:8080/file/010324-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010324-57.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010324-58.jpg] Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя: [img: http://localhost:8080/file/010324-59.jpg] Многочлены Лагерра: [img: http://localhost:8080/file/010324-60.jpg] Интеграл вероятностей: [img: http://localhost:8080/file/010324-61.jpg] Интегральная показательная функция: [img: http://localhost:8080/file/010324-62.jpg] Интегральная логарифмическая функция: [img: http://localhost:8080/file/010324-63.jpg] Гамма-функции: [img: http://localhost:8080/file/010324-64.jpg] Элементарные функции: [img: http://localhost:8080/file/010324-65.jpg] См. также [1], [2], [3], [8]. Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И.