Вырожденное гипергеометрическое уравнение

конфлюэнтное уравнение - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010324-117.jpg] или, в самосопряженной форме, [img: http://localhost:8080/file/010324-118.jpg] Переменные [img: http://localhost:8080/file/010324-119.jpg] и параметры [img: http://localhost:8080/file/010324-120.jpg] в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведенной формой уравнения (1) является Уиттекера уравнение. Уравнение (1) тесно связано с гипергеометрическим уравнением. В. г. у. можно рассматривать как уравнение, получающееся из Римана дифференциального уравнения при слиянии двух особых точек. Точка [img: http://localhost:8080/file/010324-121.jpg] является для уравнения (1) регулярной особой точкой, а точка [img: http://localhost:8080/file/010324-122.jpg] - сильно особой (см. Особая точка дифференциального уравнения). Впервые систематич. изучение решений уравнения (1) предпринял Э. Куммер [1]. Решения уравнения (1) выражаются через вырожденную гипер геометрическую функцию [img: http://localhost:8080/file/010324-123.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010324-124.jpg] не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/010324-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010324-126.jpg] - произвольные постоянные; это представление справедливо в комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010324-127.jpg] с разрезом [img: http://localhost:8080/file/010324-128.jpg]. Для целых значений [img: http://localhost:8080/file/010324-129.jpg] общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (2) (напр., Уиттекера функции, см. [2], [3]). Решение уравнения (1) может быть представлено также через контурные интегралы в комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010324-130.jpg]. Многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Бесселя уравнение).преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. [4]). В частности, уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/010324-131.jpg] интегрируется с помощью вырожденной гипергеомет-рич. функции.