Вырожденное интегральное уравнение

линейное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром. Общий вид В. и. у.: [img: http://localhost:8080/file/010324-132.jpg] Интегрирование производят по области D(вообще n-мерного) евклидова пространства, [img: http://localhost:8080/file/010324-133.jpg] - точки из [img: http://localhost:8080/file/010324-134.jpg] - действительный или комплексный параметр, а функции, входящие в (1), суммируемы с квадратом на D. Решение В. и. у. (1) ищется в виде [img: http://localhost:8080/file/010324-135.jpg] Коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010324-136.jpg] находятся из системы линейных алгебраич. уравнений [img: http://localhost:8080/file/010324-137.jpg] Если система (2) при заданном [img: http://localhost:8080/file/010324-138.jpg] имеет единственное решение, то уравнение (1) также однозначно разрешимо. Те значения [img: http://localhost:8080/file/010324-139.jpg] (их не более N), при к-рых определитель системы (2) равен 0, являются собственными значениями. Условия разрешимости В. и. у. (1) даются Фредголъма альтернативой. При [img: http://localhost:8080/file/010324-140.jpg] В. и. у. (1) есть уравнение Фредгольма I рода; для его разрешимости необходимо и достаточно, чтобы функция f могла быть представлена в виде линейной комбинации функций [img: http://localhost:8080/file/010324-141.jpg]. Тогда В. и. у. (1) имеет решение, представимое в виде [img: http://localhost:8080/file/010324-142.jpg] при этом коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010324-143.jpg] определяются однозначно, а [img: http://localhost:8080/file/010324-144.jpg] есть функция, удовлетворяющая условиям [img: http://localhost:8080/file/010324-145.jpg] Важность В. и. у. для общей теории уравнений Фредгольма обусловлена тем, что решение любого уравнения Фредгольма II рода может быть с любой точностью в среднем квадратическом (и в нек-рых других метриках) приближено решениями В. и. у. Их вырожденные ядра в том или ином смысле аппроксимируют ядро исходного уравнения. Абстрактным аналогом и обобщением В. и. у. служит линейное операторное уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/010324-146.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010324-147.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010324-148.jpg] принадлежат банахову пространству [img: http://localhost:8080/file/010324-149.jpg], а оператор Аимеет конечномерную область значений. Свойства таких уравнений аналогичны свойствам В. и. у. (1).