Вырожденное эллиптическое уравнение

- дифференциальное уравнение с частными производными [img: http://localhost:8080/file/010324-203.jpg] где действительная функция [img: http://localhost:8080/file/010324-204.jpg] удовлетворяет условиям: [img: http://localhost:8080/file/010324-205.jpg] для всех действительных [img: http://localhost:8080/file/010324-206.jpg] и существует [img: http://localhost:8080/file/010324-207.jpg], при к-ром в соотношении (2) достигается равенство. Здесь: хесть n-мерный вектор [img: http://localhost:8080/file/010324-208.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010324-209.jpg] -искомая функция, [img: http://localhost:8080/file/010324-210.jpg] - мультииндекс [img: http://localhost:8080/file/010324-211.jpg] - вектор с компонентами [img: http://localhost:8080/file/010324-212.jpg] причем в уравнение (1) входят производные порядка не выше [img: http://localhost:8080/file/010324-213.jpg] - компоненты вектора [img: http://localhost:8080/file/010324-214.jpg] есть n-мерный вектор [img: http://localhost:8080/file/010324-215.jpg] Если в соотношении (2) для к.-л. х и Du идля всех действительных [img: http://localhost:8080/file/010324-216.jpg] выполняется строгое неравенство, то уравнение (1) в точке [img: http://localhost:8080/file/010324-217.jpg] является эллиптическим. Уравнение (1) вырождается в тех точках [img: http://localhost:8080/file/010324-218.jpg], где соотношение (2) обращается в равенство для к.-л. действительного [img: http://localhost:8080/file/010324-219.jpg]. Если равенство достигается лишь на границе рассматриваемой области, то уравнение наз. вырождающимся на границе области. Наиболее исследованы линейные В. э. у. 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010324-220.jpg] где матрица [img: http://localhost:8080/file/010324-221.jpg] неотрицательно определенная для всех рассматриваемых значений х. См. также ст. Вырожденное уравнение с частными производными н лит. при ней. А. М. Ильин.