Вычет

аналитической функции f(z) одного комплексного переменного в конечной изолированной особой точке аоднозначного характера - коэффициент [img: http://localhost:8080/file/010325-27.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010325-28.jpg] в разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд).в окрестности точки а, или равный ему интеграл [img: http://localhost:8080/file/010325-29.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-30.jpg] - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке а. В. обозначается [img: http://localhost:8080/file/010325-31.jpg] (либо Выч. [img: http://localhost:8080/file/010325-32.jpg]). Теория вычетов опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть /(z) - однозначная аналитич. функция всюду в односвяз-ной области G, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от f(z) по любой простой замкнутой спрямляемой кривой g, лежащей в области G и не проходящей через особые точки функции f(z), вычисляется но формуле [img: http://localhost:8080/file/010325-33.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-34.jpg] - особые точки функции [img: http://localhost:8080/file/010325-35.jpg], попавшие внутрь [img: http://localhost:8080/file/010325-36.jpg]. Вычет функции в бесконечно удаленной точке [img: http://localhost:8080/file/010325-37.jpg] для функции [img: http://localhost:8080/file/010325-38.jpg], однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010325-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-40.jpg] - окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а [img: http://localhost:8080/file/010325-41.jpg] - коэффициент при [img: http://localhost:8080/file/010325-42.jpg] в разложении Лорана функции [img: http://localhost:8080/file/010325-43.jpg] в окрестности этой точки. Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z)- однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции [img: http://localhost:8080/file/010325-44.jpg], включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю. Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010325-45.jpg] - полюс порядка тфункции [img: http://localhost:8080/file/010325-46.jpg], тогда [img: http://localhost:8080/file/010325-47.jpg] При m=1 (простой полюс) эта формула принимает вид [img: http://localhost:8080/file/010325-48.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010325-49.jpg] регулярны в окрестности точки а, причем для [img: http://localhost:8080/file/010325-50.jpg] точка аесть простой нуль, то [img: http://localhost:8080/file/010325-51.jpg]. Применение теоремы о В. к логарифмич. производной приводит к важной теореме о логарифмическом вычете: если функция [img: http://localhost:8080/file/010325-52.jpg] мероморфна в односвязной области G, а простая замкнутая кривая [img: http://localhost:8080/file/010325-53.jpg] лежит в Gи не проходит через нули и полюсы функции [img: http://localhost:8080/file/010325-54.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010325-55.jpg] где N - число нулей, Р - число полюсов функции [img: http://localhost:8080/file/010325-56.jpg] внутри [img: http://localhost:8080/file/010325-57.jpg] с учетом их кратностей. Выражение в левой части этой формулы наз. логарифмическим вычетом функции относительно кривой [img: http://localhost:8080/file/010325-58.jpg] (см. также Аргумента принцип). В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций, таких, напр., как [img: http://localhost:8080/file/010325-59.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-60.jpg] -рациональная функция от [img: http://localhost:8080/file/010325-61.jpg] непрерывная при [img: http://localhost:8080/file/010325-62.jpg] - непрерывная функция при [img: http://localhost:8080/file/010325-63.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-64.jpg] - мнимая часть z, и аналитическая при [img: http://localhost:8080/file/010325-65.jpg] кроме конечного числа особых точек. При этом [img: http://localhost:8080/file/010325-66.jpg] подстановкой [img: http://localhost:8080/file/010325-67.jpg] сводится к контурному интегралу [img: http://localhost:8080/file/010325-68.jpg] т. е. к вычислению В.; [img: http://localhost:8080/file/010325-69.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010325-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010325-71.jpg] если f (z) удовлетворяет условиям Жордана леммы. В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. родолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих др. вопросах анализа и его приложений (см. |1] - [4]). Теория В. одного переменного разработана в основном О. Коши (A. Cauchy) в 1825 - 29. Ряд результатов, относящихся к обобщениям теории В. и ее приложениям, был получен Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, теорема о сумме В. двоякопериодической функции), П. Лораном (P. Laurent), Ю. В. Сохоцким, Э. Линделёфом [img: http://localhost:8080/file/010325-72.jpg] и др. На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитических дифференциалов (см. [5]). Вычет аналитического дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010325-73.jpg] в окрестности его изолированной особой точки определяется как коэффициент [img: http://localhost:8080/file/010325-74.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010325-75.jpg] в разложении Лорана функции [img: http://localhost:8080/file/010325-76.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-77.jpg] - униформизирующий параметр в окрестности этой точки. При этом интеграл от dZ но любой замкнутой кривой на римановой поверхности выражается через В. дифференциала dZ и через его циклические периоды (интегралы от dZ по каноническим разрезам]. На рпмановы поверхности распространяется теорема о полной сумме В.: сумма всех В. мероморфного дифференциала на компактной римановой поверхности равна нулю. Теория вычетов аналитических функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши - Пуанкаре, позволяющих заменять интеграл от замкнутой формы по одному циклу интегралом от этой формы по другому циклу, гомологичному первому. Начало теории В. функции многих переменных положил А. Пуанкаре [6], к-рый в 1887 впервые обобщил интегральную теорему Коши и понятие В. на функции двух комплексных переменных, показав, в частности, что интеграл от рациональной функции двух комплексных переменных по двумерному циклу, не проходящему через особенности подинтегральной функции, сводится к периодам абелевых интегралов, и применил двойные В. для обоснования двумерного аналога Лагранжа ряда. Ж. Лере (J. Leray, см. [7], а также [4], [8]) разработал общую теорию В. на комплексном аналитич. многообразии X. Теория вычетов Лере, в частности, описывает метод вычисления интегралов по нек-рым циклам на Xот замкнутых внешних дифференциальных форм, имеющих особенности на аналитич. одмногообразиях. Вводится понятие вычет-формы, обобщающее понятие В. аналитич. функции одного переменного; получаемая при этом формула В. позволяет свести вычисление интеграла от формы w, имеющей на комплексном аналитич. одмногообразии Sполярную особенность 1-го порядка, по нек-рому циклу в [img: http://localhost:8080/file/010325-78.jpg] к вычислению интеграла на 1 меньшей размерности от вычет-формы [img: http://localhost:8080/file/010325-79.jpg] по циклу на S. Для вычисления интегралов от замкнутых форм, имеющих на Sпроизвольные особенности, важны понятие вычет-класса (см. Вычет-форма).и т е-орема Лере, согласно к-рой для любой замкнутой формы [img: http://localhost:8080/file/010325-80.jpg] найдется когомологичная ей форма шД, имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Для формы [img: http://localhost:8080/file/010325-81.jpg], имеющей особенность на нескольких подмногообразиях [img: http://localhost:8080/file/010325-82.jpg], используются кратные вычет-форма [img: http://localhost:8080/file/010325-83.jpg] вычет-класс [img: http://localhost:8080/file/010325-84.jpg] вычет-класс и формула В. [img: http://localhost:8080/file/010325-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-87.jpg] - кратный оператор [img: http://localhost:8080/file/010325-88.jpg] - цикл в [img: http://localhost:8080/file/010325-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010325-86.jpg] Имеется другой подход к теории В. функций многих комплексных переменных - метод выделения базы гомологии, опирающийся на идею Э. Мартинелли (Е. Martinelli) применения Александера двойственности (см. [9]). Пусть f (z), [img: http://localhost:8080/file/010325-90.jpg] - голоморфная функция в области [img: http://localhost:8080/file/010325-91.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010325-92.jpg] есть n-мерный цикл в G. Если - база n-мерных гомологии области Gи [img: http://localhost:8080/file/010325-93.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010325-94.jpg] - разложение апо этой базе, то обобщение теоремы о В. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010325-95.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-96.jpg] есть n-мерный аналог В. и наз. вычетом функции f (z) относительно базисного циклa sv. В отличие от случая одной переменной, значительную трудность представляет отыскание как базы гомологии [img: http://localhost:8080/file/010325-97.jpg], так и коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/010325-98.jpg] разложения опо базе. В ряде случаев (напр., когда [img: http://localhost:8080/file/010325-99.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010325-100.jpg], где Р - многочлен) эти задачи позволяет решить двойственность Александера и Понтрягина. При этом коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010325-101.jpg] находятся как коэффициенты зацепления цикла [img: http://localhost:8080/file/010325-102.jpg] с циклами на множестве [img: http://localhost:8080/file/010325-103.jpg] (компактифицированном определенным образом), двойственными циклам [img: http://localhost:8080/file/010325-104.jpg]. Вычеты [img: http://localhost:8080/file/010325-105.jpg] в нек-рых случаях находятся как соответствующие коэффициенты разложения Лорана функции [img: http://localhost:8080/file/010325-106.jpg]. Многомерные аналоги логарифмич. В. (см. [4], [12]) выражают число общих нулей (с учетом их кратностей) системы голоморфных функций [img: http://localhost:8080/file/010325-107.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/010325-108.jpg] через интегралы: [img: http://localhost:8080/file/010325-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010325-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-111.jpg] - нек-рый цикл в [img: http://localhost:8080/file/010325-112.jpg] В. функций многих переменных нашли применения при изучении фейнмановских интегралов, в комбинаторном анализе (см. [11]) и в теории неявных функций (см. [12]).