Вычет-форма

форма-вычет,- обобщение понятия вычета аналитич. функции одного комплексного переменного на случай многих переменных. Пусть X - комплексное аналитич. многообразие, S - его аналитич. одмногообразие комплексной коразмерности 1 и пусть [img: http://localhost:8080/file/010325-113.jpg] -замкнутая внешняя дифференциальная форма класса [img: http://localhost:8080/file/010325-114.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010325-115.jpg], имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Последнее означает, что для функции [img: http://localhost:8080/file/010325-116.jpg], голоморфной от хв окрестности [img: http://localhost:8080/file/010325-117.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/010325-118.jpg] и такой, что [img: http://localhost:8080/file/010325-119.jpg] форма [img: http://localhost:8080/file/010325-120.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/010325-121.jpg]. При этих условиях в окрестности Uлюбой точки [img: http://localhost:8080/file/010325-122.jpg] существуют такие формы [img: http://localhost:8080/file/010325-123.jpg] класса [img: http://localhost:8080/file/010325-124.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010325-125.jpg] причем есть замкнутая форма класса [img: http://localhost:8080/file/010325-126.jpg], зависящая [img: http://localhost:8080/file/010325-127.jpg] только от [img: http://localhost:8080/file/010325-128.jpg]. Замкнутая форма на [img: http://localhost:8080/file/010325-129.jpg], определяемая в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010325-130.jpg], сужением [img: http://localhost:8080/file/010325-131.jpg], наз. вычет-формой формы [img: http://localhost:8080/file/010325-132.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010325-133.jpg] Если форма [img: http://localhost:8080/file/010325-134.jpg] голоморфна, то и ее В.-ф. голоморфна. Напр., для [img: http://localhost:8080/file/010325-135.jpg] и формы [img: http://localhost:8080/file/010325-136.jpg] где f, s- голоморфные функции в [img: http://localhost:8080/file/010325-137.jpg], grad [img: http://localhost:8080/file/010325-138.jpg] на S, В.-ф. равна [img: http://localhost:8080/file/010325-139.jpg] в точках, где [img: http://localhost:8080/file/010325-140.jpg] Для В.-ф. имеет место формула вычета: [img: http://localhost:8080/file/010325-141.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010325-142.jpg] - произвольный цикл в Sразмерности, равной степени [img: http://localhost:8080/file/010325-143.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010325-144.jpg] - цикл в [img: http://localhost:8080/file/010325-145.jpg] - граница нек-рой цепи в X, находящейся в общем положении с Sи пересекающейся с [img: http://localhost:8080/file/010325-146.jpg] Кратная В.-ф. [img: http://localhost:8080/file/010325-147.jpg] определяется по индукции. Вычет-класc (или класс-вычет) замкнутой в [img: http://localhost:8080/file/010325-148.jpg] формы [img: http://localhost:8080/file/010325-149.jpg] есть класс когомологий подмногообразия S, образованный В.-ф. форм класса [img: http://localhost:8080/file/010325-150.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010325-151.jpg], когомологичных [img: http://localhost:8080/file/010325-152.jpg] и имеющих на Sполярную особенность 1-го порядка. Вычет-класс формы [img: http://localhost:8080/file/010325-153.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/010325-154.jpg] Вычет-класс голоморфной формы может не содержать голоморфной формы, так что в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением кольца голоморфных форм вместо кольца замкнутых форм. Однако это возможно, если X - Штейна многообразие. Вычет-класс [img: http://localhost:8080/file/010325-155.jpg] не зависит от выбора со из одного и того же класса когомологий и осуществляет гомоморфизм группы классов когомологий многообразия [img: http://localhost:8080/file/010325-156.jpg] в группу классов когомологий многообразия S: [img: http://localhost:8080/file/010325-157.jpg] Как и для В.-ф., справедлива формула вычета: [img: http://localhost:8080/file/010325-158.jpg] причем интеграл в правой части берется от любой формы из вычет-класса Res [w] и не зависит от ее выбора. Лит. см. при ст. Вычет аналитической функции [7], [8], [4]. А. П. Южаков.