Газовых струи теория

раздел газовой динамики, в к-ром исследуются течения газа в предположении, что газ частично обтекает встречаемое на пути своего распространения препятствие и стекает с него, образуя за препятствием застойную область. Решение задач о струйном течении газа достигается в предположении, что газ баротропный и движение его плоскопараллельное, потенциальное и установившееся. В этих предположениях выводится из уравнений гидродинамики следующая основная формула: [img: http://localhost:8080/file/010402-1.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/010402-2.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010402-3.jpg] - соответственно потенциал скоростей и функция тока, [img: http://localhost:8080/file/010402-4.jpg] - плотность газа в произвольной точке, [img: http://localhost:8080/file/010402-5.jpg] - плотность газа в точке нулевой скорости газа. Для адиабатич. движении постоянная [img: http://localhost:8080/file/010402-6.jpg] есть квадрат скорости звука в точке нулевой скорости газа, поделенный на [img: http://localhost:8080/file/010402-7.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010402-8.jpg] - показатель адиабаты). Для решения задач Г. с. т. целесообразно рассматривать искомые функции не в зависимости от переменных [img: http://localhost:8080/file/010402-9.jpg] - координат в плоскости потока, а как функции переменных Чаплыгина: [img: http://localhost:8080/file/010402-10.jpg] и угла [img: http://localhost:8080/file/010402-11.jpg] наклона вектора скорости [img: http://localhost:8080/file/010402-12.jpg] к оси [img: http://localhost:8080/file/010402-13.jpg]. При таком выборе независимых переменных уравнение (1) приводит к системе двух уравнений с частными производными [img: http://localhost:8080/file/010402-14.jpg] к к-рой надо присоединить интеграл Бернулли [img: http://localhost:8080/file/010402-15.jpg] Исключение функции [img: http://localhost:8080/file/010402-16.jpg] приводит к уравнению для функции тока: [img: http://localhost:8080/file/010402-17.jpg] Это - уравнение эллиптич. типа для дозвуковых течений и гиперболич. типа для сверхзвуковых течений. Решение уравнения (2) может быть получено для ряда препятствий, составленных из отрезков прямых линий; вдоль каждого такого отрезка переменное [img: http://localhost:8080/file/010402-18.jpg] имеет соответствующее постоянное значение. Вдоль линий тока, срывающихся с концов отрезков и являющихся границей, отделяющей движущийся газ от спокойного газа в застойной области, переменное т имеет постоянное значение. Функция тока [img: http://localhost:8080/file/010402-19.jpg] в точках границ [img: http://localhost:8080/file/010402-20.jpg] На плоскости переменных [img: http://localhost:8080/file/010402-21.jpg] образуется область, ограниченная отрезками прямых линий, параллельных осям координат; вдоль каждого такого отрезка функция тока имеет постоянное значение. Расположение этих отрезков и постоянные значения функции [img: http://localhost:8080/file/010402-22.jpg] на них зависят от вида и положения препятствия на плоскости течения газа. В определенном круге задач функция [img: http://localhost:8080/file/010402-23.jpg] может быть получена из уравнения (2) методом разделения переменных. Напр., если поток газа дебита Qи конечной ширины набегает на прямолинейную пластинку, поставленную перпендикулярно к скорости газа в удаленных частях потока, то функция [img: http://localhost:8080/file/010402-24.jpg] определяется рядом: [img: http://localhost:8080/file/010402-25.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010402-26.jpg] - значение переменной [img: http://localhost:8080/file/010402-27.jpg] на граничной линии тока, [img: http://localhost:8080/file/010402-28.jpg] - угол скорости потока с осью Ох далеко за пластинкой. Угол mможет быть найден через длину, а сила давления потока на пластинку - с помощью формулы (1). Функция [img: http://localhost:8080/file/010402-29.jpg] получается при разделении переменных в уравнении (2) и является интегралом гипергео-метрич. уравнения: [img: http://localhost:8080/file/010402-30.jpg] голоморфным около точки [img: http://localhost:8080/file/010402-31.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010402-32.jpg] для газа, вытекающего из отверстия бесконечно широкого сосуда, определяется рядом [img: http://localhost:8080/file/010402-33.jpg] Сходимость рядов вида (3) и (4) была установлена С. А. Чаплыгиным (см. [1]) для дозвуковых течений, т. е. при [img: http://localhost:8080/file/010402-34.jpg]. Ряды, подобные рядам (3) и (4) для функции [img: http://localhost:8080/file/010402-35.jpg] могут быть составлены, если в потоке есть лишь одна характерная для него скорость, отличная от нуля. Если же имеются две или несколько характерных скоростей, как, напр., в задаче о вытекании газа из отверстия в поперечной стенке сосуда, ограниченного двумя бесконечными полупрямыми, то решение выражается с помощью определенных интегралов сложной структуры, содержащих [img: http://localhost:8080/file/010402-36.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010402-37.jpg] в виде параметров. Для исследования рядов вида (3), (4) и определенных интегралов, дающих точное решение задач Г. с. т., С. А. Чаплыгин предложил приближенный метод решения задач о струйном движении газа. Этот метод приводит задачу о движении газа к задаче о плоскопараллельном потенциальном движении несжимаемой жидкости.