Галеркина метод

метод моментов,- метод нахождения приближенного решения операторного уравнения в виде линейной комбинации элементов заданной линейно независимой системы. Пусть F(х) - нелинейный оператор, область определения к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область значений - в банаховом пространстве Y. Для решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/010402-38.jpg] методом Галеркина выбираются линейно независимая система элементов из X(координатная система) [img: http://localhost:8080/file/010402-39.jpg] и линейно независимая система функционалов [img: http://localhost:8080/file/010402-40.jpg] из пространства [img: http://localhost:8080/file/010402-41.jpg], сопряженного к [img: http://localhost:8080/file/010402-42.jpg] (проекционная система). Приближенное решение хуравнения (1) разыскивается в виде [img: http://localhost:8080/file/010402-43.jpg] Числовые коэффициенты определяются из системы уравнений [img: http://localhost:8080/file/010402-44.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010402-45.jpg] В этой общей постановке задачи нельзя гарантировать, что система (3) имеет хотя бы одно решение. В случае если (3) имеет единственное решение при каждом [img: http://localhost:8080/file/010402-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010402-47.jpg] приближенное решение (2) может не сходиться при [img: http://localhost:8080/file/010402-48.jpg] даже слабо к точному решению уравнения (1). Тем не менее, Г. м. является мощным средством не только для нахождения приближенных решений, но и для доказательства теорем существования решений линейных и нелинейных уравнений, особенно в задачах для уравнений с частными производными. В ряде случаев задача определения коэффициентов (2) из системы (3) эквивалентна задаче об отыскании минимума нек-рого функционала, и Г. м. превращается в вариационный (энергетический) метод. Наиболее важный из таких методов - Ритца метод. В нек-рых случаях эффективно применение для исследования системы (3) топологич. методов. Если пространства Xи Yгильбертовы, то Г. м. иногда наз. методом Галерки на - Петрова. Если, кроме того, координатная и проекционная системы совпадают: [img: http://localhost:8080/file/010402-49.jpg] то принято говорить о методе Бубнова- Галеркина. Если Х=Y=H - гильбертово пространство, а [img: http://localhost:8080/file/010402-50.jpg] то этот частный случай Г. м. наз. наименьших квадратов методом. В линейном случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010402-51.jpg] - линейный, вообще говоря, неограниченный оператор с областью определения [img: http://localhost:8080/file/010402-52.jpg] и с областью значений [img: http://localhost:8080/file/010402-53.jpg], а координатная система выбрана в [img: http://localhost:8080/file/010402-54.jpg], уравнение (1) принимает вид: [img: http://localhost:8080/file/010402-55.jpg] При этом система (3) представляет собой систему плинейных уравнений с пнеизвестными: [img: http://localhost:8080/file/010402-56.jpg] Если в условиях метода наименьших квадратов на [img: http://localhost:8080/file/010402-57.jpg] существует и ограничен обратный оператор [img: http://localhost:8080/file/010402-58.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010402-59.jpg] и система [img: http://localhost:8080/file/010402-60.jpg] полна в Н, то приближенное решение (2) при [img: http://localhost:8080/file/010402-61.jpg] сходится к точному решению уравнения (4). Если в условиях метода Галеркина - Петрова оператор Асимметричен, положительно определен, [img: http://localhost:8080/file/010402-62.jpg] и система [img: http://localhost:8080/file/010402-63.jpg] полна в гильбертовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010402-64.jpg] - пополнении D(А).в метрике, порожденной скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/010402-65.jpg] то приближенное решение (2) сходится к точному решению уравнения (4) как в [img: http://localhost:8080/file/010402-66.jpg], так и в Н. Если А- самосопряженный положительно определенный оператор в Н, а [img: http://localhost:8080/file/010402-67.jpg] - полная ортонормиро-ванная система его собственных элементов, то метод Бубнова - Галеркина и метод наименьших квадратов совпадают с Фурье методом. Г. м. применяется также для приближенного решения задач на собственные значения и собственные элементы. Г. м. получил широкое распространение после исследований Б. Г. Галеркина [1]; ранее он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым. Существует общий подход к приближенным методам, охватывающий обобщающие Г. м. проекционные методы, разностные методы и другие приближенные методы.