Галуа поле

конечное поле,- поле, число элементов к-рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 - 47). Число элементов любого Г. п. есть степень [img: http://localhost:8080/file/010402-171.jpg] нек-рого натурального простого числа [img: http://localhost:8080/file/010402-172.jpg], являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого р и любого натурального псуществует (и единственно, с точностью до изоморфизма) поле из [img: http://localhost:8080/file/010402-173.jpg] элементов. Оно обозначается [img: http://localhost:8080/file/010402-174.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010402-175.jpg]. Поле [img: http://localhost:8080/file/010402-176.jpg] содержит в качестве подполя поле [img: http://localhost:8080/file/010402-177.jpg] в том и только в том случае, когда тделится на п. В частности, в любом поле [img: http://localhost:8080/file/010402-178.jpg] содержится поле [img: http://localhost:8080/file/010402-179.jpg], наз. простым полем характеристики р. Поле [img: http://localhost:8080/file/010402-180.jpg] изоморфно полю [img: http://localhost:8080/file/010402-181.jpg] классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю р. В любом фиксированном алгебраическом замыкании [img: http://localhost:8080/file/010402-182.jpg] поля [img: http://localhost:8080/file/010402-183.jpg] существует точно одно подполе [img: http://localhost:8080/file/010402-184.jpg] для каждого п. Соответствие [img: http://localhost:8080/file/010402-185.jpg] является изоморфизмом между решеткой натуральных чисел относительно делимости и решеткой конечных алгебраич. расширений поля [img: http://localhost:8080/file/010402-186.jpg], лежащих в [img: http://localhost:8080/file/010402-187.jpg], относительно включения. Такова же решетка множества конечных алгебраич. расширений любого Г. п., лежащих в его фиксированном алгебраич. замыкании. Алгебраич. расширение [img: http://localhost:8080/file/010402-188.jpg] является простым, т. е. существует примитивный элемент [img: http://localhost:8080/file/010402-189.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010402-190.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/010402-191.jpg] Таким [img: http://localhost:8080/file/010402-192.jpg] будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени пиз кольца [img: http://localhost:8080/file/010402-193.jpg]. Число примитивных элементов расширения [img: http://localhost:8080/file/010402-194.jpg] равно [img: http://localhost:8080/file/010402-195.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010402-196.jpg] - Мёбиуса функция. Аддитивная группа поля [img: http://localhost:8080/file/010402-197.jpg] естественным образом наделяется структурой n-мерного векторного пространства над [img: http://localhost:8080/file/010402-198.jpg]. В качестве базиса можно взять [img: http://localhost:8080/file/010402-199.jpg]. Ненулевые элементы поля [img: http://localhost:8080/file/010402-200.jpg] образуют мультипликативную группу [img: http://localhost:8080/file/010402-201.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010402-202.jpg], т. е. каждый элемент из [img: http://localhost:8080/file/010402-203.jpg] является корнем многочлена [img: http://localhost:8080/file/010402-204.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/010402-205.jpg] циклическая, ее образующие - первообразные корни из единицы степени [img: http://localhost:8080/file/010402-206.jpg] число К-рых равно [img: http://localhost:8080/file/010402-207.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010402-208.jpg] - Эйлера функция. Каждый первообразный корень из единицы степени [img: http://localhost:8080/file/010402-209.jpg] является примитивным элементом расширения [img: http://localhost:8080/file/010402-210.jpg] но не наоборот. Точнее, среди [img: http://localhost:8080/file/010402-211.jpg] неприводимых унитарных многочленов степени пнад [img: http://localhost:8080/file/010402-212.jpg] имеется [img: http://localhost:8080/file/010402-213.jpg] таких, корни к-рых будут образующими для [img: http://localhost:8080/file/010402-214.jpg]. Множество элементов поля [img: http://localhost:8080/file/010402-215.jpg] в точности совпадает с множеством корней многочлена [img: http://localhost:8080/file/010402-216.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010402-217.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/010402-218.jpg] характеризуется как подполе элементов из [img: http://localhost:8080/file/010402-219.jpg], инвариантных относительно автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010402-220.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010402-221.jpg], наз. автоморфизмом Фробениуса. Если [img: http://localhost:8080/file/010402-222.jpg] то расширение [img: http://localhost:8080/file/010402-223.jpg] нормально (см. Расширение поля), его Галуа группа [img: http://localhost:8080/file/010402-224.jpg] циклическая порядка ml п. В качестве образующей группы [img: http://localhost:8080/file/010402-225.jpg] может быть взят автоморфизм т.