Гамильтона функция

гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в канонической форме. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010403-117.jpg] - Лагранжа функция механич. системы или подннтегральная функция в задаче минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/010403-118.jpg]. классического вариационного исчисления, где [img: http://localhost:8080/file/010403-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010403-120.jpg]. Г. ф. представляет собой Лежандра преобразование функции Lпо переменным [img: http://localhost:8080/file/010403-121.jpg] иначе говоря, [img: http://localhost:8080/file/010403-122.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010403-123.jpg] выражено через рсоотношением [img: http://localhost:8080/file/010403-124.jpg] скалярное произведение векторов [img: http://localhost:8080/file/010403-125.jpg] и х. С помощью Г. ф. уравнения Эйлера [img: http://localhost:8080/file/010403-126.jpg] (в задачах классич. механики называемые Лагранжа уравнениями).записываются в виде системы уравнений 1-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/010403-127.jpg] Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамиль-тоновой системой, а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см. Гамильтона - Якоби теория). Т. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала [img: http://localhost:8080/file/010403-128.jpg] при дифференциальных связях [img: http://localhost:8080/file/010403-129.jpg] при заданных граничных условиях и ограничении на управление [img: http://localhost:8080/file/010403-130.jpg]. Здесь [img: http://localhost:8080/file/010403-131.jpg] есть n-мерный вектор фазовых координат, [img: http://localhost:8080/file/010403-132.jpg] - m-мерный вектор управления, U - замкнутое множество допустимых значений управления и. Г. [img: http://localhost:8080/file/010403-133.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010403-134.jpg] - сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным [img: http://localhost:8080/file/010403-135.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010403-136.jpg] есть минимум в поставленной задаче и [img: http://localhost:8080/file/010403-137.jpg] (тогда [img: http://localhost:8080/file/010403-138.jpg] можно [img: http://localhost:8080/file/010403-139.jpg] считать равным -1), то где [img: http://localhost:8080/file/010403-140.jpg] Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/010403-141.jpg] Оптимальное управление ипри каждом tдолжно доставлять максимум Г. ф.: [img: http://localhost:8080/file/010403-142.jpg]