Гамильтона - якоби теория

раздел классического вариационного исчисления и аналитич. механики, в к-ром задача нахождения экстремалей (или задача интегрирования гамильтоновой системы уравнений) сводится к интегрированию нек-рого уравнения с частными производными 1-го порядка - так наз. уравнения Гамильтона - Якоби. Основы Г.- Я. т. были разработаны У. Гамильтоном (W. Hamilton) в 20-х гг. 19 в. в применении к задачам волновой и геометрич. оптики. В 1834 У. Гамильтон распространил свои идеи на задачи динамики, а в 1837 К. Якоби (С. Jacobi) применил этот метод для общих задач классического вариационного исчисления. Исходные позиции Г. -Я. исходная точка, а [img: http://localhost:8080/file/010403-146.jpg] - минимальное время, требуемое свету для преодоления пути от х 0 к х. Функцию [img: http://localhost:8080/file/010403-147.jpg] называют эйконалом, или оптической длиной пути. Допустим, что за малое время [img: http://localhost:8080/file/010403-148.jpg] свет распространился из точки хдо точки [img: http://localhost:8080/file/010403-149.jpg]. В соответствии с Гюйгенса принципом свет с точностью до малых более высокого порядка будет распространяться по нормали к поверхности уровня функции W(x). Таким образом выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/010403-150.jpg] из к-рого следует уравнение Гамильтона - Якоби для задач геометрич. оптики: [img: http://localhost:8080/file/010403-151.jpg] В аналитич. механике роль принципа Ферма играет вариационный Гамильтона -Остроградского принцип, а роль эйконала играет функция действия, представляющая собой интеграл [img: http://localhost:8080/file/010403-152.jpg] вдоль траектории [img: http://localhost:8080/file/010403-153.jpg], соединяющей фиксированную точку [img: http://localhost:8080/file/010403-154.jpg] с точкой [img: http://localhost:8080/file/010403-155.jpg], где L - функция Лагранжа механич. системы. К. Якоби предложил рассматривать функцию действия, подобную (1), для любой задачи классического вариационного исчисления. Экстремали задачи [img: http://localhost:8080/file/010403-156.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010403-157.jpg], исходящие из точки [img: http://localhost:8080/file/010403-158.jpg], пересекают поверхность уровня функции действия трансверсально (см. Трансверсальности условие), из этого выводят вид дифференциала функции действия: [img: http://localhost:8080/file/010403-159.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010403-160.jpg] - Гамильтона функция (см. также Лежандра преобразование). Последнее соотношение приводит к уравнению для функции S: [img: http://localhost:8080/file/010403-161.jpg] Это уравнение и наз. уравнением Гамильтон а - Якоби. Важнейшим результатом Г. -Я. т. является теорема Якоби, заключающаяся в том, что полный интеграл уравнения (2), т. е. решение [img: http://localhost:8080/file/010403-162.jpg] этого уравнения, зависящее от параметров [img: http://localhost:8080/file/010403-163.jpg] (с условием невырожденности [img: http://localhost:8080/file/010403-164.jpg]), позволяет получить общий интеграл уравнения Эйлера функционала (1), или, что то же самое,- гамильтоновой системы, связанной с этим функционалом, по формулам [img: http://localhost:8080/file/010403-165.jpg] Применение теоремы Якоби к интегрированию гамильтоновых систем основано, как правило, на методе разделения переменных в специально выбранных координатах. Несмотря на то, что интегрирование уравнений с частными производными составляет, как правило, более сложную задачу, чем отыскание решений обыкновенных уравнений, Г. -Я. т. оказалась мощным орудием исследования задач оптики, механики и геометрии. Суть принципа Гюйгенса была применена Р. Беллманом (R. Bellmann) к задачам оптимального управления. См. также Гильберта, инвариантный интеграл.