Гамма-распределение

- непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси [img: http://localhost:8080/file/010404-153.jpg] распределение вероятностей с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010404-154.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-155.jpg] - параметр, принимающий положительные значения, и [img: http://localhost:8080/file/010404-156.jpg] - гамма-функция Эйлера [img: http://localhost:8080/file/010404-157.jpg] Соответствующая функция распределения при [img: http://localhost:8080/file/010404-158.jpg] равна нулю, а при [img: http://localhost:8080/file/010404-159.jpg] выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/010404-160.jpg] Интеграл в правой части наз. неполной гамма-функцией. Плотность [img: http://localhost:8080/file/010404-161.jpg] унимодальна и при [img: http://localhost:8080/file/010404-162.jpg] достигает максимума [img: http://localhost:8080/file/010404-163.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010404-164.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010404-165.jpg] плотность [img: http://localhost:8080/file/010404-166.jpg] с ростом хмонотонно убывает, причем если [img: http://localhost:8080/file/010404-167.jpg] неограниченно возрастает. Характеристич. функция Г.-р. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010404-168.jpg] Моменты Г.-р. выражаются формулой [img: http://localhost:8080/file/010404-169.jpg] в частности, математич. ожидание и дисперсия равны [img: http://localhost:8080/file/010404-170.jpg]. Г.-р. замкнуто относительно операции свертки: [img: http://localhost:8080/file/010404-171.jpg] Г.-р. играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае [img: http://localhost:8080/file/010404-172.jpg] получается показательная плотность. В теории массового обслуживания Г.-р. при К, принимающем целочисленные значения, наз. Эрланга распределением. В математич. статистике Г.-р. часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, т. к. сумма квадратов [img: http://localhost:8080/file/010404-173.jpg] взаимно независимых (0,1) нормально распределенных случайных величин имеет плотность [img: http://localhost:8080/file/010404-174.jpg] и наз. хи-квадрат плотностью с пстепенями свободы. Ввиду этого с Г.-р. связаны многие важные распределения в задачах математич. статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределенных случайных величин (напр., Стьюдента распределение, F -распределение и z-распределение Фишера). Если X1 и Х 2 независимы и распределены с плотностями [img: http://localhost:8080/file/010404-175.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010404-176.jpg], то случайная величина [img: http://localhost:8080/file/010404-177.jpg] имеет плотность [img: http://localhost:8080/file/010404-178.jpg] к-рая наз. плотностью бета-распределения. Плотности линейных функций [img: http://localhost:8080/file/010404-179.jpg] от случайных величин X, подчиняющихся Г.-р., составляют специальный класс распределений - так наз. "тип III" семейства распределений К. Пирсона (К. Pear-son). Плотность Г.-р. является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции Г.-р. можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (см. [1]).