Гамма-функция

, " Г-функция,- трансцендентная функция [img: http://localhost:8080/file/010404-180.jpg], распространяющая значения факториала [img: http://localhost:8080/file/010404-181.jpg] на случай любого комплексного [img: http://localhost:8080/file/010404-182.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-183.jpg] Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения [img: http://localhost:8080/file/010404-184.jpg] иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интеграл второго рода) [img: http://localhost:8080/file/010404-185.jpg] верное для [img: http://localhost:8080/file/010404-186.jpg]. Многозначность функции [img: http://localhost:8080/file/010404-187.jpg] устраняется формулой [img: http://localhost:8080/file/010404-188.jpg] с действительным In х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814). Если [img: http://localhost:8080/file/010404-189.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010404-190.jpg] то Г.-ф. может быть представлена интегралом Коши- Зальшюца: [img: http://localhost:8080/file/010404-191.jpg] На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, - 1, -2,... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля: [img: http://localhost:8080/file/010404-192.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-193.jpg] причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/010404-194.jpg]; контур Сизображен на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что [img: http://localhost:8080/file/010404-195.jpg] - мероморфная функция. В точках [img: http://localhost:8080/file/010404-196.jpg] она имеет простые полюсы с вычетами [img: http://localhost:8080/file/010404-197.jpg] ! [img: http://localhost:8080/file/010404-198.jpg] Основные соотношения и свойства Г.-ф. 1) Функциональное уравнение Эйлера: [img: http://localhost:8080/file/010404-200.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010404-199.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-201.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010404-202.jpg] - целое, при этом считают [img: http://localhost:8080/file/010404-203.jpg]. 2) Формула дополнения Эйлера: [img: http://localhost:8080/file/010404-204.jpg] В частности, [img: http://localhost:8080/file/010404-205.jpg] если n>0- целое, то [img: http://localhost:8080/file/010404-206.jpg] у - действительное. 3) Фор мула умножения Гаусса: [img: http://localhost:8080/file/010404-207.jpg] При m=2 это есть формула удвоения Лежандра. 4) При [img: http://localhost:8080/file/010404-208.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010404-209.jpg] имеет место асим-птотич. разложение [img: http://localhost:8080/file/010404-210.jpg] вряд Стирлинга: [img: http://localhost:8080/file/010404-211.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-212.jpg] - Бернулли числа. Из чего следует равенство [img: http://localhost:8080/file/010404-213.jpg] В частности [img: http://localhost:8080/file/010404-214.jpg] Более точной является формула Сонина [6]: [img: http://localhost:8080/file/010404-215.jpg] 5) В действительной области [img: http://localhost:8080/file/010404-216.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010404-217.jpg] и принимает знак [img: http://localhost:8080/file/010404-218.jpg] на участках [img: http://localhost:8080/file/010404-219.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-221.jpg] (см. рис. 2). Для всех действительных хсправедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/010404-222.jpg] т. е. все ветви как [img: http://localhost:8080/file/010404-223.jpg], так и [img: http://localhost:8080/file/010404-224.jpg] - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения [img: http://localhost:8080/file/010404-225.jpg] с точностью до постоянного множителя. [img: http://localhost:8080/file/010404-220.jpg] Для положительных хГ.-ф. имеет единственный минимум при х=1,4616321..., равный 0,885603.... Локальные минимумы функции [img: http://localhost:8080/file/010404-226.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010404-227.jpg] образуют последовательность, стремящуюся к нулю. [img: http://localhost:8080/file/010404-228.jpg] 6) В комплексной области, при [img: http://localhost:8080/file/010404-229.jpg], Г.-ф. быстро убывает при [img: http://localhost:8080/file/010404-230.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-231.jpg] 7) Функция 1/Г (z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при [img: http://localhost:8080/file/010404-232.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-233.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-234.jpg] Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса: [img: http://localhost:8080/file/010404-235.jpg] абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля: [img: http://localhost:8080/file/010404-236.jpg] где контур [img: http://localhost:8080/file/010404-237.jpg] изображен на рис. 4. [img: http://localhost:8080/file/010404-238.jpg] Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным [7]. В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся k-ми производными от [img: http://localhost:8080/file/010404-239.jpg]. Функция ([img: http://localhost:8080/file/010404-240.jpg] -функция Гаусса) [img: http://localhost:8080/file/010404-241.jpg] мероморфна, имеет простые полюсы в точках z= 0, - 1, -2,... и удовлетворяет функциональному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010404-242.jpg] Из представления [img: http://localhost:8080/file/010404-243.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010404-244.jpg] следует формула [img: http://localhost:8080/file/010404-245.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-246.jpg] эта формула полезна для вычисления [img: http://localhost:8080/file/010404-247.jpg] в окрестности точки z=1. О других полигамма-функциях см. [2]. Неполная гамма-функция определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010404-248.jpg] Функции [img: http://localhost:8080/file/010404-249.jpg] суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера). Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.