Гармоническая мажоранта

наименьшая гармоническая мажоранта [img: http://localhost:8080/file/010405-50.jpg] семейства [img: http://localhost:8080/file/010405-51.jpg] - нижняя огибающая семейства [img: http://localhost:8080/file/010405-52.jpg] всех супергармонич. мажорант vk, семейства [img: http://localhost:8080/file/010405-53.jpg] субгармонич. функций на открытом множестве Dевклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010405-54.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010405-55.jpg] Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010405-56.jpg] либо является гармонич. функцией, либо [img: http://localhost:8080/file/010405-57.jpg] В случае семейства, состоящего из одной функции и, субгармонической на более широком множестве [img: http://localhost:8080/file/010405-58.jpg] иногда используется также понятие наилучшей Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010405-59.jpg] - решения обобщенной задачи Дирихле для Dпо значениям ина границе [img: http://localhost:8080/file/010405-60.jpg] Всегда [img: http://localhost:8080/file/010405-61.jpg] причем справедлива формула [1] [img: http://localhost:8080/file/010405-62.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010405-63.jpg] - ассоциированная с имера, [img: http://localhost:8080/file/010405-64.jpg] - (обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D. Наилучшая н наименьшая Г. м. совпадают тогда и только тогда, когда множество всех иррегулярных точек Г имеет [img: http://localhost:8080/file/010405-65.jpg] -меру нуль. Соответственно, если [img: http://localhost:8080/file/010405-66.jpg] - семейство супергармонич. функций на D, то наибольшая гармоническая миноранта [img: http://localhost:8080/file/010405-67.jpg] семейства [img: http://localhost:8080/file/010405-68.jpg] определяется как верхняя огибающая семейства всех субгармонич. минорант семейства [img: http://localhost:8080/file/010405-69.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/010405-70.jpg] есть наименьшая Г. м. для семейства [img: http://localhost:8080/file/010405-71.jpg]. Другую постановку вопроса о Г. м., связанную с задачей Коши для уравнения Лапласа, см. в ст. Гармоническая функция.