Гармоническая форма

внешняя дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/010405-95.jpg] на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению [img: http://localhost:8080/file/010405-96.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010405-97.jpg] Лапласа оператор, соответствующий римановой метрике на М, а [img: http://localhost:8080/file/010405-98.jpg] - оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если [img: http://localhost:8080/file/010405-99.jpg] имеет компактный носитель, то гармоничность формы [img: http://localhost:8080/file/010405-100.jpg] равносильна равенствам [img: http://localhost:8080/file/010405-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010405-102.jpg] Г. ф. степени рна Мобразуют векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/010405-103.jpg] над полем [img: http://localhost:8080/file/010405-104.jpg]. Если рнманово многообразие Мкомпактно, то [img: http://localhost:8080/file/010405-105.jpg] конечномерно, как ядро эллиптич. оператора [img: http://localhost:8080/file/010405-106.jpg]. Поскольку Г. ф. замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное отображение пространства [img: http://localhost:8080/file/010405-107.jpg] в пространство [img: http://localhost:8080/file/010405-108.jpg] вещественных когомологий степени рмногообразия М. Из Ходжа теоремы, следует, что это отображение является изоморфизмом. В частности, гармонич. функции, то есть Г. ф. степени 0, на связном компактном многообразии постоянны. Г. ф. на компактном римановом многообразии инвариантны относительно любой связной группы изомет-рий этого многообразия, а для симметрического пространства Мпространство [img: http://localhost:8080/file/010405-109.jpg] совпадает с пространством р-форм, инвариантных относительно наибольшей связной группы изометрий. Параллельная теория Г. ф. существует для эрмитовых многообразий М. Г. ф. на эрмитовом многообразии М - это комплексная форма, лежащая в ядре оператора Бельтрами - Лапласа [img: http://localhost:8080/file/010405-110.jpg]. Г. ф. типа [img: http://localhost:8080/file/010405-111.jpg] составляют пространство [img: http://localhost:8080/file/010405-112.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/010405-113.jpg]. Если Мкомпактно, то [img: http://localhost:8080/file/010405-114.jpg] конечномерно и естественно изоморфно пространству когомологий Дольбо. В случае, когда М- кэлерово многообразие, эти два понятия Г. ф. фактически совпадают, поскольку [img: http://localhost:8080/file/010405-115.jpg] В этом случае [img: http://localhost:8080/file/010405-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010405-116.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010405-118.jpg] - кэлерова форма на М, L - оператор внешнего умножения на [img: http://localhost:8080/file/010405-119.jpg] - сопряженный к Lоператор, [img: http://localhost:8080/file/010405-120.jpg] (М) - пространство примитивных гармонических форм типа [img: http://localhost:8080/file/010405-121.jpg], т. е. форм [img: http://localhost:8080/file/010405-122.jpg], для которых [img: http://localhost:8080/file/010405-123.jpg]. Для [img: http://localhost:8080/file/010405-124.jpg] справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/010405-125.jpg] Для компактного кэлерова многообразия [img: http://localhost:8080/file/010405-126.jpg] пространство [img: http://localhost:8080/file/010405-127.jpg] совпадает с пространством [img: http://localhost:8080/file/010405-128.jpg] голоморфных форм степени р. В частности, [img: http://localhost:8080/file/010405-129.jpg] Изучение гармонич. функций и форм на римановых поверхностях восходит к Б. Риману (В. Riemann), сформулированные к-рым теоремы существования были полностью обоснованы к началу 20 в. Теория Г. ф. на компактных римановых многообразиях была впервые изложена У. Хеджем (см. [1]). В дальнейшем были даны различные обобщения теории Г. (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010405-131.jpg]) гармонич. форм со значениями в Е(см. Дифференциальная форма). Если Мкомпактно, то эти пространства конечномерны и изоморфны соответствующим пространствам когомологий де Рама и Дольбо, допускающим в свою очередь интерпретацию в терминах когомологий пучков. В случае локально плоского расслоения эти когомологпи тесно связаны также с когомологиями группы [img: http://localhost:8080/file/010405-132.jpg] Если Мне компактно, то пространство Г. ф. с интегрируемым квадратом изоморфно пространству кого-мологий комплекса форм с интегрируемым квадратом [2]. В случае, когда М- область с гладкой границей и компактным замыканием [img: http://localhost:8080/file/010405-133.jpg] в кэлеровом многообразии [img: http://localhost:8080/file/010405-134.jpg] можно рассматривать также пространство Г. ф. типа [img: http://localhost:8080/file/010405-135.jpg] со значениями в векторном аналитич. расслоении Енад [img: http://localhost:8080/file/010405-136.jpg] гладких в Ми непрерывных в [img: http://localhost:8080/file/010405-137.jpg] Если Мстрого псевдовыпукла, то это пространство конечномерно и изоморфно пространству когомологий Дольбо, соответствующему Енад М[9]. Г. ф. являются мощным средством изучения когомологий вещественных и комплексных многообразий, а также когомологий дискретных групп. Из теории Г. ф. выводятся основные когомологич. свойства компактных кэлеровых многообразий и, в частности, проективных алгебраич. многообразий [1], [4], [5]. С помощью Г.