Гармонического баланса метод

приближенный метод исследования нелинейных колебательных систем, описываемых нелийейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть Г. б. м. состоит в замене в колебательных системах нелинейных сил специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного анализа нелинейных систем. Линейные функции строятся с помощью специального приема, наз. гармонич. линеаризацией. Пусть задана нелинейная функция (сила) [img: http://localhost:8080/file/010406-261.jpg] где e - малый параметр. Гармонической линеаризацией наз. замена [img: http://localhost:8080/file/010406-262.jpg] линейной функцией [img: http://localhost:8080/file/010406-263.jpg] где параметры [img: http://localhost:8080/file/010406-264.jpg] вычисляются по формулам: [img: http://localhost:8080/file/010406-265.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010406-266.jpg] то нелинейная сила [img: http://localhost:8080/file/010406-267.jpg] является периодич. функцией времени, и ее разложение в ряд Фурье содержит, вообще говоря, бесконечное число гармоник с частотами [img: http://localhost:8080/file/010406-268.jpg] т. е. оно имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010406-269.jpg] (1) Слагаемое [img: http://localhost:8080/file/010406-270.jpg] наз. основ но и гармоникой разложения (1). Амплитуда и фаза линейной функции [img: http://localhost:8080/file/010406-271.jpg] совпадают с аналогичными характеристиками основной гармоники нелинейной силы. Применительно к дифференциальному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010406-272.jpg] типичному для теории квазилинейных колебаний, Г. б. м. заключается в замене [img: http://localhost:8080/file/010406-273.jpg] линейной функцией [img: http://localhost:8080/file/010406-274.jpg], и вместо уравнения (2) рассматривается уравнение [img: http://localhost:8080/file/010406-275.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010406-276.jpg] Принято называть [img: http://localhost:8080/file/010406-277.jpg] эквивалентной линейной силой, [img: http://localhost:8080/file/010406-278.jpg] - эквивалентным коэффициентом затухания, [img: http://localhost:8080/file/010406-279.jpg] - эквивалентным коэффициентом упругости. Доказано, что если нелинейное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010406-280.jpg] (2) имеет решение вида причем [img: http://localhost:8080/file/010406-281.jpg] то разность между решениями уравнений (2) и (3) имеет порядок [img: http://localhost:8080/file/010406-282.jpg]. В Г. б. м. частота колебаний зависит от амплитуды а(посредством величин [img: http://localhost:8080/file/010406-283.jpg]). Г. б. м. применяется для отыскания периодич. и квазипериодич. колебаний, периодич. и квазипериодич. режимов в теории автоматич. регулирования, стационарных режимов и для исследования их устойчивости. Особенно большое распространение он получил в теории автоматич. регулирования.