Гармоническое колебание

синусоидальное колебание,- периодическое изменение во времени физич. величины, записываемое аналитически в виде [img: http://localhost:8080/file/010406-284.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010406-285.jpg] - значение колеблющейся величины в момент времени [img: http://localhost:8080/file/010406-286.jpg] - амплитуда, [img: http://localhost:8080/file/010406-287.jpg] - циклическая (круговая) частота, [img: http://localhost:8080/file/010406-288.jpg] - начальная фаза колебаний. Продолжительность одного полного колебания, равная [img: http://localhost:8080/file/010406-289.jpg] наз. периодом Г. к., а величина [img: http://localhost:8080/file/010406-290.jpg], равная числу полных колебаний в единицу времени, наз. частотой Г. к. ([img: http://localhost:8080/file/010406-291.jpg]). Период Г. к. не зависит от амплитуды. Скорость, ускорение и все высшие производные гармонически колеблющейся величины изменяются гармонически с той же частотой. На фазовой плоскости [img: http://localhost:8080/file/010406-292.jpg] Г. к. изображается эллипсом. В природе из-за диссипации энергии абсолютно точные Г. к. не встречаются. Однако существует много важных процессов, близких к Г. к. Таковы малые колебания механич. систем относительно их устойчивого положения равновесия. Получающиеся при этом частоты (так наз. собственные частоты) колебаний не зависят от начальных условий движения, а определяются лишь самой колеблющейся системой как таковой. Напр., малые колебания (под действием силы тяжести) математич. маятника на нити длины lописываются дифференциальным уравнением [img: http://localhost:8080/file/010406-293.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010406-294.jpg] - ускорение силы тяжести, а [img: http://localhost:8080/file/010406-295.jpg] - угол между вертикалью и нитью маятника. Общее решение этого уравнения имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010406-296.jpg] где (собственная) частота колебаний [img: http://localhost:8080/file/010406-297.jpg] зависит только от gи l, а амплитуда Аи фаза [img: http://localhost:8080/file/010406-298.jpg] являются постоянными интегрирования, выбираемыми на основе начальных условий. Г. к. играют большую роль в изучении общих колебаний, так как сложные периодически и почти периодически меняющиеся величины могут быть с любой степенью точности представлены суммой различных Г. к. Математически это соответствует приближению функций тригонометрич. рядами и Фурье интегралами. Классический ряд Фурье [img: http://localhost:8080/file/010406-299.jpg] комплекснозначной функции [img: http://localhost:8080/file/010406-300.jpg], определенной на [img: http://localhost:8080/file/010406-301.jpg] может рассматриваться как разложение [img: http://localhost:8080/file/010406-302.jpg] на сумму Г. к. с целочисленными частотами [img: http://localhost:8080/file/010406-303.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010406-304.jpg] Коэффициент Фурье [img: http://localhost:8080/file/010406-305.jpg] определяет амплитуду [img: http://localhost:8080/file/010406-306.jpg] и сдвиг фазы [img: http://localhost:8080/file/010406-307.jpg] Г. к. частоты п. Совокупность всех коэффициентов Фурье определяет спектр [img: http://localhost:8080/file/010406-308.jpg] и показывает, какие Г. к. действительно входят в [img: http://localhost:8080/file/010406-309.jpg] и каковы амплитуды и начальные фазы этих колебаний. Знание спектра заменяет знание функции [img: http://localhost:8080/file/010406-310.jpg]. Функцию [img: http://localhost:8080/file/010406-311.jpg] определенную на [img: http://localhost:8080/file/010406-312.jpg] уже нельзя построить из Г. к. с целочисленными частотами. Для ее построения нужны колебания всех частот: функция [img: http://localhost:8080/file/010406-313.jpg] представляется в виде интеграла Фурье [img: http://localhost:8080/file/010406-314.jpg] - спектральная плотность функции [img: http://localhost:8080/file/010406-315.jpg]. Эти представления функций являются основой Фурье методов решения различных задач в теории дифференциальных и интегральных уравнений.