Гармоническое пространство

топология, пространство X с пучком [img: http://localhost:8080/file/010406-316.jpg] непрерывных действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той или иной форме тремя основными свойствами классических гармонических функций:свойство сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой;принцип экстремума; разрешимость Дирихле задачи для достаточно широкого класса открытых множеств из X. Функции пучка [img: http://localhost:8080/file/010406-317.jpg] получают наименование гармонич. функций; преимущество этого аксиоматич. подхода состоит в том, что с его помощью в теорию включаются решения не только Лапласа уравнения, но и нек-рых других уравнений эллиптич. и параболич. типов. Пусть X - локально компактное топологич. пространство. Под пучком функций на Xздесь понимается отображение [img: http://localhost:8080/file/010406-318.jpg] определенное на семействе всех открытых множеств [img: http://localhost:8080/file/010406-319.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010406-320.jpg] и такое, что: 1) [img: http://localhost:8080/file/010406-321.jpg] есть семейство функций на U; 2) если [img: http://localhost:8080/file/010406-322.jpg] то сужение любой функции из [img: http://localhost:8080/file/010406-323.jpg] (V).на Uпринадлежит [img: http://localhost:8080/file/010406-324.jpg]; 3) для любого семейства [img: http://localhost:8080/file/010406-325.jpg] функция на [img: http://localhost:8080/file/010406-326.jpg] принадлежит [img: http://localhost:8080/file/010406-327.jpg] если для всех [img: http://localhost:8080/file/010406-328.jpg] ее сужение на [img: http://localhost:8080/file/010406-329.jpg] принадлежит [img: http://localhost:8080/file/010406-330.jpg] Пучок функций [img: http://localhost:8080/file/010406-331.jpg] наз. гипергармоническим, если [img: http://localhost:8080/file/010406-332.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010406-333.jpg] есть выпуклый конус полунепрерывных и конечных снизу действительных функций на [img: http://localhost:8080/file/010406-334.jpg]. Пучок функций [img: http://localhost:8080/file/010406-335.jpg] наз. гармоническим, если [img: http://localhost:8080/file/010406-336.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010406-337.jpg] есть действительное векторное пространство непрерывных функций на U;в дальнейшем используется только гармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/010406-338.jpg] Локально компактное пространство Xназ. Т. Аксиома положительности: пучок [img: http://localhost:8080/file/010406-339.jpg] невырожден во всех точках [img: http://localhost:8080/file/010406-340.jpg], т. е. для любого [img: http://localhost:8080/file/010406-341.jpg] существует функция [img: http://localhost:8080/file/010406-342.jpg], определенная в окрестности д-, причем [img: http://localhost:8080/file/010406-343.jpg]. Аксиома сходимости: если возрастающая последовательность функций из [img: http://localhost:8080/file/010406-344.jpg] локально ограничена, то она сходится к функции из [img: http://localhost:8080/file/010406-345.jpg]. Аксиома разрешимости: существует базис разрешимых открытых множеств U, т. е. таких, что для любой непрерывной функции f с компактным носителем на [img: http://localhost:8080/file/010406-346.jpg] существует обобщенное в смысле Винера - Перрона (см. Перрона метод).решение задачи Дирихле для Uиз [img: http://localhost:8080/file/010406-347.jpg]. Аксиома мажоранты: если полунепрерывная и конечная снизу функция [img: http://localhost:8080/file/010406-348.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010406-349.jpg] для любого относительно компактного множества [img: http://localhost:8080/file/010406-350.jpg] такого, что [img: http://localhost:8080/file/010406-351.jpg] удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/010406-352.jpg] на V, то [img: http://localhost:8080/file/010406-353.jpg]. Евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/010406-354.jpg] с пучком клас-снч. решений уравнения Лапласа или теплопроводности уравнения образует Г. п. Имеется ряд других вариантов аксиоматики гармонич. пространств. Г. п. локально связны, не содержат изолированных точек; они имеют базис из связных разрешимых множеств. Гипергармонич. функция ина Г. п. Xназ. супергармонической, если для любого относительно компактного разрешимого множества Vнаибольшая миноранта [img: http://localhost:8080/file/010406-355.jpg] есть гармонич. функция. Положительная супергармонич. функция, для к-рой любая гармонич. миноранта тождественно равна нулю, наз. потенциалом. Г. п. Xназ. [img: http://localhost:8080/file/010406-356.jpg] -гармоническим (или [img: http://localhost:8080/file/010406-357.jpg] -гармоническим), если для любого [img: http://localhost:8080/file/010406-358.jpg] существует положительная супергармонич. функция и(пли, соответственно, потенциал и).на Xтакая, что [img: http://localhost:8080/file/010406-359.jpg] Любое Г. п. допускает покрытие такими открытыми множествами U, для к-рых выполняется принцип минимума в следующей форме: если гипергармоническая функция [img: http://localhost:8080/file/010406-360.jpg] положительна вне пересечения Uс любым компактом из Xи [img: http://localhost:8080/file/010406-361.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010406-362.jpg] В случае [img: http://localhost:8080/file/010406-363.jpg] -гармонич. пространства этот принцип минимума выполняется для всех открытых множеств. Евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/010406-364.jpg] с пучком классич. решений уравнения Лапласа при [img: http://localhost:8080/file/010406-365.jpg] образует [img: http://localhost:8080/file/010406-366.jpg] -гармонич. пространство, а при [img: http://localhost:8080/file/010406-367.jpg] оно образует [img: http://localhost:8080/file/010406-368.jpg] -гармонич. пространство; пространство [img: http://localhost:8080/file/010406-369.jpg] с пучком решений уравнения теплопроводности образует p-гармонич. пространство. Основными вопросами теории Г. п. являются: теория разрешимости задачи Дирихле, включающая исследование поведения обобщенного решения этой задачи в граничных точках; теория емкости множеств в Г. п.; изучение проблемы выметания (см. Выметания метод).и Робе на задачи.