Гарнака неравенство

(двойное) - неравенство, оценивающее сверху и снизу отношение [img: http://localhost:8080/file/010407-38.jpg] двух значений положительной гармонич. функции; получено А. Гарнаком (Харнаком) [1]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010407-39.jpg] - гармоническая в области Gn-мерного евклидова пространства функция, [img: http://localhost:8080/file/010407-40.jpg] - шар [img: http://localhost:8080/file/010407-41.jpg] радиуса гс центром в точке у. Если замыкание [img: http://localhost:8080/file/010407-42.jpg] то для всех [img: http://localhost:8080/file/010407-43.jpg] справедливо неравенство Гарнака [img: http://localhost:8080/file/010407-44.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010407-45.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010407-46.jpg] - компакт, [img: http://localhost:8080/file/010407-47.jpg] то существует число [img: http://localhost:8080/file/010407-48.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010407-49.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/010407-50.jpg] В частности, [img: http://localhost:8080/file/010407-51.jpg] Из Г. н. следуют: сильный принцип максимума, Гарнака теоремы о последовательностях гармонич. функций теоремы о компактности семейств гармонич. функций, Лиувилля теорема и другие факты. Г. н. обобщается ([3], [4]) на неотрицательные решения широкого класса линейных эллиптич. уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/010407-52.jpg] с равномерно положительно определенной матрицей [img: http://localhost:8080/file/010407-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-55.jpg] - числа, [img: http://localhost:8080/file/010407-56.jpg] - любой и-мерный вектор, [img: http://localhost:8080/file/010407-57.jpg]. При этом постоянная Мнеравенства (2) зависит только от [img: http://localhost:8080/file/010407-58.jpg] некоторых норм младших коэффициентов оператора Lи расстояния между границами Gи g. [img: http://localhost:8080/file/010407-60.jpg] Для неотрицательных решений [img: http://localhost:8080/file/010407-59.jpg] равномерно параболич. урав нений вида [img: http://localhost:8080/file/010407-61.jpg] (коэффициенты оператора Lмогут зависеть и от t).аналог Г. н. также имеет место [5]. В этом случае возможно только одностороннее неравенство [img: http://localhost:8080/file/010407-62.jpg] для точек(x,t) лежащих внутри параболоида [img: http://localhost:8080/file/010407-63.jpg] с вершиной в точке [img: http://localhost:8080/file/010407-64.jpg], обращенного полостью вниз (рис. а). При этом Мзависит от величин [img: http://localhost:8080/file/010407-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-66.jpg] нек-рых норм младших коэффициентов оператора Lи от расстояний между границей параболоида и границей области, в к-рой [img: http://localhost:8080/file/010407-67.jpg]. Если, например, [img: http://localhost:8080/file/010407-68.jpg] в цилиндре [img: http://localhost:8080/file/010407-69.jpg] расстояние между [img: http://localhost:8080/file/010407-70.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010407-71.jpg] больше или равно [img: http://localhost:8080/file/010407-72.jpg] и dдостаточно мало, то в [img: http://localhost:8080/file/010407-73.jpg] выполняется неравенство [5]: [img: http://localhost:8080/file/010407-74.jpg] В частности, если [img: http://localhost:8080/file/010407-75.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010407-76.jpg] (рис. б).и компакты [img: http://localhost:8080/file/010407-77.jpg] вложены в Q, причем [img: http://localhost:8080/file/010407-78.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010407-79.jpg] Пример функции [img: http://localhost:8080/file/010407-80.jpg] являющейся решением уравнения теплопроводности [img: http://localhost:8080/file/010407-81.jpg] при любых [img: http://localhost:8080/file/010407-82.jpg] показывает невозможность в параболич. случае двусторонних оценок.