Гартогса теорема

Хартогса теорема,- 1) Основная (главная, или фундаментальная) Г. т.: если функция [img: http://localhost:8080/file/010407-94.jpg] определенная в области [img: http://localhost:8080/file/010407-95.jpg], в любой точке [img: http://localhost:8080/file/010407-96.jpg] голоморфна по каждому переменному [img: http://localhost:8080/file/010407-97.jpg] (при фиксированных [img: http://localhost:8080/file/010407-98.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/010407-99.jpg] то f голоморфна в Dпо совокупности переменных. Имеется много обобщений этой теоремы на случаи, когда часть переменных действительна или используются не все точки области Dили когда допускаются нек-рые особенности f. Напр.: а) если функция [img: http://localhost:8080/file/010407-100.jpg] определенная в области [img: http://localhost:8080/file/010407-101.jpg], голоморфна в области [img: http://localhost:8080/file/010407-102.jpg] и при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010407-103.jpg], голоморфна в шаре [img: http://localhost:8080/file/010407-104.jpg] то f голоморфна в области D; б) если функция f, определенная в [img: http://localhost:8080/file/010407-105.jpg] со значениями из расширенной комплексной плоскости, рациональна по каждому переменному, то f-рациональная функция. 2) Г. т. о продолжении: пусть область [img: http://localhost:8080/file/010407-106.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010407-107.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010407-108.jpg] и область [img: http://localhost:8080/file/010407-109.jpg] ограничена. Любая функция f, голоморфная в окрестности множества [img: http://localhost:8080/file/010407-110.jpg] голоморфно продолжается в область [img: http://localhost:8080/file/010407-111.jpg]. 3) Иногда к Г. т. относят также теорему об устранении компактных особенностей (при [img: http://localhost:8080/file/010407-112.jpg]); она часто именуется теоремой Осгуда - Брауна (см. [3]). 4) Г. т. называют также теоремы о непрерывном расположении особых точек при [img: http://localhost:8080/file/010407-113.jpg], об аналитичности множества особых точек и теорему о равномерной ограниченности последовательности поточечно ограниченных субгармонич. функций Теоремы 1), 1а), 2) н 4) впервые доказаны были Ф. Гартогсом (Хартогсом).