Гаусса разложение

топологической группыС- представление всюду плотного подмножества [img: http://localhost:8080/file/010407-301.jpg] в виде [img: http://localhost:8080/file/010407-302.jpg] где Н - абелева подгруппа группы [img: http://localhost:8080/file/010407-303.jpg] - нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа [img: http://localhost:8080/file/010407-304.jpg] невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N(соответственно [img: http://localhost:8080/file/010407-305.jpg]) - подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали, [img: http://localhost:8080/file/010407-306.jpg] - подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение [img: http://localhost:8080/file/010407-307.jpg] наз. разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений: если [img: http://localhost:8080/file/010407-308.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-309.jpg] - невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений [img: http://localhost:8080/file/010407-310.jpg] то приведение матрицы [img: http://localhost:8080/file/010407-311.jpg] методом Гаусса к треугольному виду [img: http://localhost:8080/file/010407-312.jpg], можно осуществить умножением g0 слева на нижнетреугольную матрицу [img: http://localhost:8080/file/010407-313.jpg] Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. Пусть G- топо-логич. группа, Н - ее подгруппа, [img: http://localhost:8080/file/010407-314.jpg] - нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Нназ. треугольным усечением группы, если а) [img: http://localhost:8080/file/010407-315.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-316.jpg] - коммутант группы [img: http://localhost:8080/file/010407-317.jpg] - связные разрешимые подгруппы группы G;б) множество [img: http://localhost:8080/file/010407-318.jpg] всюду плотно в G, и разложение [img: http://localhost:8080/file/010407-319.jpg] однозначно. Разложение [img: http://localhost:8080/file/010407-320.jpg] наз. треугольным разложением в G. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы [img: http://localhost:8080/file/010407-321.jpg] разрешимы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010408-1.jpg] - неприводимое (непрерывное) представление группы [img: http://localhost:8080/file/010408-2.jpg] в конечномерном векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010408-3.jpg] - подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно [img: http://localhost:8080/file/010408-4.jpg]; тогда [img: http://localhost:8080/file/010408-5.jpg] инвариантно относительно Н, и представление [img: http://localhost:8080/file/010408-6.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010408-7.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010408-8.jpg] неприводимо. Представление [img: http://localhost:8080/file/010408-9.jpg] определяет [img: http://localhost:8080/file/010408-10.jpg] однозначно с точностью до эквивалентности. Представление [img: http://localhost:8080/file/010408-11.jpg] содержится (как инвариантная часть) в представлении [img: http://localhost:8080/file/010408-12.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010408-13.jpg], индуцированном представлением [img: http://localhost:8080/file/010408-14.jpg], подгруппы Вв классе [img: http://localhost:8080/file/010408-15.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010408-16.jpg] - продолжение на Водноименного представления группы H, тривиальное на N. При этом пространство [img: http://localhost:8080/file/010408-17.jpg] одномерно. Если Н - абелева подгруппа, то [img: http://localhost:8080/file/010408-18.jpg] одномерно и [img: http://localhost:8080/file/010408-19.jpg] - характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G - редук-тивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй [img: http://localhost:8080/file/010408-20.jpg] - редуктивная связная подгруппа в G, содержащая [img: http://localhost:8080/file/010408-21.jpg]. Тогда подгруппа Нявляется треугольным усечением группы G.2) Пусть G - редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G содержит треугольное усечение [img: http://localhost:8080/file/010408-22.jpg], где А - од-носвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), M - централизатор Ав максимальной компактной подгруппе [img: http://localhost:8080/file/010408-23.jpg]. 3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. р. [img: http://localhost:8080/file/010408-24.jpg], где Н - картановская подгруппа в группе G; Nсоответственно [img: http://localhost:8080/file/010408-25.jpg] - аналитич. одгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы [img: http://localhost:8080/file/010408-26.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010408-27.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/010408-28.jpg] - корень относительно Н, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010408-29.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-30.jpg] являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1) - 3) подгруппы [img: http://localhost:8080/file/010408-31.jpg] од-носвязны, [img: http://localhost:8080/file/010408-32.jpg] открыто в G в топологии Зариского, а отображение [img: http://localhost:8080/file/010408-33.jpg] является изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. многообразие G рационально.