Гауссово число

- целое комплексное число а+bi, где аи b - любые целые рациональные'числа. С геометрич. точки зрения Г. ч. образуют на плоскости решетку всех точек с целыми рациональными координатами. Г. ч. впервые были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1832 в работе о биквадратичных вычетах. Им же были найдены основные свойства множества Г - целых комплексных чисел. Г является кольцом; единицами Г (т. е. делителями единичного элемента) будут 1, - 1, i, - i, других единиц нет. Простыми (неразложимыми в нетривиальное произведение) числами кольца Г - гауссовыми простыми числами будут числа вида [img: http://localhost:8080/file/010408-125.jpg] нормы (модули) [img: http://localhost:8080/file/010408-126.jpg] к-рых есть рациональные простые числа р вида 4n+1 и 4n+3. Примеры простых Г. ч.: 1 + 2i, 3+4i, 3, 7 и др. Любое число из Г однозначно раскладывается в произведение простых Г. ч. Кольца, характеризующиеся этим свойством, наз. гауссовыми кольцами, или факториальными кольцами. В теории биквадратичных вычетов Г. ч. явились первым простым и важным примером расширения поля рациональных чисел.