Гензелево кольцо

- коммутативное локальное кольцо, для к-рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к-рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом [img: http://localhost:8080/file/010409-192.jpg] последнее означает, что для любого унитарного многочлена [img: http://localhost:8080/file/010409-193.jpg] и простого решения [img: http://localhost:8080/file/010409-194.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/010409-195.jpg] по модулю [img: http://localhost:8080/file/010409-196.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010409-197.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010409-198.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010409-199.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010409-200.jpg] и Примерами Г. к. являются полные локальные кольца, кольца сходящихся степенных рядов (и в более общем смысле, аналитические кольца), кольцо алгебраических степенных рядов (т. е. рядов из [img: http://localhost:8080/file/010409-201.jpg], алгебраических над [img: http://localhost:8080/file/010409-202.jpg]). Локальное кольцо, целое над Г. к., есть Г. к.; в частности, факторкольцо Г. к. есть Г. к. Для любого локального кольца Асуществует общая конструкция - такая локальная гензелева А-алгебра [img: http://localhost:8080/file/010409-203.jpg], что для любой локальной гензелевой А-алгебры Всуществует единственный гомоморфизм А-алгебр [img: http://localhost:8080/file/010409-204.jpg]. Алгебра [img: http://localhost:8080/file/010409-205.jpg] локального кольца Аявляется строго плоским А-модулем, [img: http://localhost:8080/file/010409-206.jpg] будет максимальным идеалом алгебры [img: http://localhost:8080/file/010409-207.jpg], поля вычетов Аи [img: http://localhost:8080/file/010409-208.jpg] канонически изоморфны, пополнения Аи [img: http://localhost:8080/file/010409-209.jpg] (в топологиях локальных колец) совпадают. Так, гензелевой А-алгеброй для [img: http://localhost:8080/file/010409-210.jpg] является кольцо алгебраических степенных рядов от [img: http://localhost:8080/file/010409-211.jpg] Если А - нётерово (соответственно приведенное, нормальное, регулярное, превосходное) кольцо, то таким же будет и [img: http://localhost:8080/file/010409-212.jpg]. Напротив, если А - целостное кольцо, то [img: http://localhost:8080/file/010409-213.jpg] может не быть целостным; более точно, существует биективное соответствие между максимальными идеалами целого замыкания кольца Аи минимальными простыми идеалами [img: http://localhost:8080/file/010409-214.jpg]. Г. к. с сепарабельно замкнутым полем вычетов наз. строго локальным (или строго гензелевым) по причине локальности его спектра в этальнои топологии схем; аналогично конструкции построения геизелевой А-алгебры [img: http://localhost:8080/file/010409-215.jpg] имеется функтор строгой гензелевой А-алгебры [img: http://localhost:8080/file/010409-216.jpg]. Понятие Г. к. можно вводить для полулокального кольца и даже в более общем смысле для пары кольцо - идеал. Г. к. можно характеризовать как кольцо, над которым любая конечная алгебра есть прямая сумма локальных колец. Г. к. введены в [1]; общая теория Г. к. и конструкция гензелевой А-алгебры разработаны в [2]. В теории этальных морфизмов и этальнои топологии гензелева А-алгебра понимается как индуктивный предел этальных расширений кольца. В коммутативной алгебре взятие гензелевой А-алгебры часто заменяет операцию пополнения, играющую важную роль при локальном исследовании объектов.