Геометрических объектов теория

раздел дифференциальной геометрии, основанный на теории представления групп. Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии Г. о. т., превращающие ее в эффективный аппарат дифференцпально-геометрич. исследования пространств с фундаментальными группами, а также обобщенных пространств (расслоенных пространств, пространств со связностью, дифференцируемых многообразий, снабженных различными дифференциально-геоме-трич. структурами}. Если каждому элементу S r -членов группы Ли Gпоставлено в соответствие преобразование каждой точки М, принадлежащей нек-рой области Dтопологич. пространства Е, причем нулевому элементу группы [img: http://localhost:8080/file/010411-51.jpg] соответствует тождественное преобразование (отображение) пространства в себя, а последовательное выполнение преобразований при помощи двух элементов [img: http://localhost:8080/file/010411-52.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010411-53.jpg] равносильно преобразованию, осуществляемому при помощи произведения этих элементов, и в данном пространстве введена надлежащим образом система координат, то говорят, что группа Gлокально представлена в пространстве Екак группа преобразований. Пространство Еназывается пространством представления группы G, или пространством с фундаментальной группой G. Геометрическим объектом (г. о.) с данной фундаментальной группой G, или г. о., присоединенным к группе G(кратко G-объектом), наз. точка пространства представления данной группы G. Само это пространство наз. пространством г. о. в широком смысле слова, или обобщенным однородным пространством. Группа преобразований пространства г. о., реализующая его фундаментальную группу, наз. фундаментальной группой этого г. о. Два г. о. в одном и том же пространстве представления группы G наз. эквивалентными, если один из них может быть преобразован в другой с помощью преобразования фундаментальной группы G. Система интранзитивности наз. пространством г. о. в собственном смысле. Пространство представления группы G наз. однородным пространством с фундаментальной группой G, если в нем реализовано истинное транзитивное представление этой группы. Во всяком пространстве истинного представления конечной группы существует репер, состоящий из конечного числа точек. Пусть в пространстве г. о. Xреализовано истинное транзитивное представление. Подвергая пространство представления и с ним репер Rвсевозможным преобразованиям фундаментальной группы G, получают полное семейство (пространство) реперов, в к-ром осуществляется просто транзитивное представление группы G. Это пространство отождествляется с групповым или параметрич. пространством группы G. Если принять его произвольную точку (репер) за исходную и сопоставить ей единичный элемент группы G, то все точки этого пространства приводятся во взаимно однозначное соответствие с элементами группы G. Групповые параметры могут рассматриваться как параметры подвижного репера. Между реперами семейства и элементами группы может быть установлено также и взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/010411-54.jpg] группы приведен в соответствие репер [img: http://localhost:8080/file/010411-55.jpg], получаемый из произвольно зафиксированного начального (абсолютного) репера Rправым (левым) сдвигом при помощи элемента [img: http://localhost:8080/file/010411-56.jpg] Текущему элементу [img: http://localhost:8080/file/010411-57.jpg] будет соответствовать текущий "подвижной" репер [img: http://localhost:8080/file/010411-58.jpg]. Каждая точка -Xпространства представления группы Gопределяется относительно репера Rсвоими координатами [img: http://localhost:8080/file/010411-59.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010411-60.jpg] наз. абсолютными координатами, или абсолютными компонентами, г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-61.jpg]. Относительными компонентами [img: http://localhost:8080/file/010411-62.jpg] г. о. по отношению к реперу [img: http://localhost:8080/file/010411-63.jpg] наз. абсолютные компоненты г. о., в к-рый рассматриваемый объект Xпревращается при помощи преобразования, переводящего подвижный репер [img: http://localhost:8080/file/010411-64.jpg] в абсолютный репер [img: http://localhost:8080/file/010411-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010411-66.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010411-67.jpg] -групповые параметры r-членной группы [img: http://localhost:8080/file/010411-68.jpg]). Относительные компоненты [img: http://localhost:8080/file/010411-69.jpg] фиксированного г. о. удовлетворяют вполне интегрируемой системе дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/010411-70.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010411-71.jpg] - левоинвариантные формы группы Gи [img: http://localhost:8080/file/010411-72.jpg]. Система (1) наз. системой дифференциальных уравнений инвариантности г. о., а также системой дифференциальных у равнений представления группы Gсинвариантными формами [img: http://localhost:8080/file/010411-73.jpg]. Функции [img: http://localhost:8080/file/010411-74.jpg] наз. основными определяющими г. о. функциями (или определяющими представление функциями). Система вида (1) тогда и только тогда является системой дифференциальных уравнений инвариантности г. о. с относительными компонентами [img: http://localhost:8080/file/010411-75.jpg] и группой преобразований G, когда коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010411-76.jpg] являются функциями только от переменных [img: http://localhost:8080/file/010411-77.jpg] и данная система (1) вполне интегрируема (основная теорема Г. о. т.). Необходимыми и достаточными условиями полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений инвариантности г. о. является выполнение структурных уравнений Ли для определяющих объект функций xJs(XK): [img: http://localhost:8080/file/010411-78.jpg] Дифференциальные формы [img: http://localhost:8080/file/010411-79.jpg] наз. структурными формами представления (или структурными формами г. о. с относительными компонентами [img: http://localhost:8080/file/010411-80.jpg]). Размерность Nпространства представления г. о. наз. рангом объекта X. Необходимым условием истинного транзитивного представления r-членной группы в пространстве объекта Xявляется соотношение [img: http://localhost:8080/file/010411-81.jpg] Число [img: http://localhost:8080/file/010411-82.jpg], где R - ранг матрицы [img: http://localhost:8080/file/010411-83.jpg], наз. жанром г. о. Жанр [img: http://localhost:8080/file/010411-84.jpg] совпадает с числом независимых абсолютных инвариантов г. о. Система форм [img: http://localhost:8080/file/010411-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010411-86.jpg] вполне интегрируема. Для фиксированной точки [img: http://localhost:8080/file/010411-87.jpg] пространства представления группы G [img: http://localhost:8080/file/010411-88.jpg] а возникающие формы [img: http://localhost:8080/file/010411-89.jpg] удовлетворяют структурным уравнениям линейной группы. Число [img: http://localhost:8080/file/010411-90.jpg] линейно независимых форм среди форм [img: http://localhost:8080/file/010411-91.jpg] является арифметич. инвариантом пространства представления группы G. Число [img: http://localhost:8080/file/010411-92.jpg] наз. характером изотропии m-го порядка пространства представления группы G. Числа r а образуют невозрастающую последовательность. Всегда существует такое наименьшее число д, что [img: http://localhost:8080/file/010411-93.jpg] Число qтакже является арифметич. инвариантом пространства представления группы G и наз. порядком нелинейности г. о. X. Если система дифференциальных уравнений инвариантности г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-94.jpg] содержит подсистему [img: http://localhost:8080/file/010411-95.jpg] то система компонент [img: http://localhost:8080/file/010411-96.jpg] определяет г. о.- подобъект г. о. с относительными компонентами [img: http://localhost:8080/file/010411-97.jpg]. Если два г. о. Xи Yприсоединены к одной и той же группе, причем все относительные компоненты [img: http://localhost:8080/file/010411-98.jpg] одного объекта могут быть представлены как определенные аналитич. функции от относительных компонент [img: http://localhost:8080/file/010411-99.jpg] второго объекта: [img: http://localhost:8080/file/010411-100.jpg] то говорят, что объект [img: http://localhost:8080/file/010411-101.jpg] охватывается объектом X. Г. о. Xназ. охватывающим г. о., а объект Y - охваченным г. о. Два г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-102.jpg] наз. подобными, если каждый из них охватывает другой. Ранги, жанры, характеристики и типы подобных г. о. совпадают. Частный случай подобных г. о. дают изомеры-г. о., компоненты к-рых отличаются только порядком следования. Если система дифференциальных уравнений инвариантности г. о. алгебраически разрешима относительно всех инвариантных форм [img: http://localhost:8080/file/010411-103.jpg] группы G, то этим объектом можно охватить любой другой объект, присоединенный к группе G. Система функций (3) тогда и только тогда будет системой относительных компонент г. о., когда в системе дифференциальных уравнений, к-рой удовлетворяют функции [img: http://localhost:8080/file/010411-104.jpg], коэффициенты разложения по формам [img: http://localhost:8080/file/010411-105.jpg] будут функциями только от этих компонент [img: http://localhost:8080/file/010411-106.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/010411-107.jpg] Если в дифференциальных уравнениях [img: http://localhost:8080/file/010411-108.jpg] к-рым удовлетворяют компоненты [img: http://localhost:8080/file/010411-109.jpg] г. о. с относительными компонентами [img: http://localhost:8080/file/010411-110.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/010411-111.jpg] однородны относительно компонент [img: http://localhost:8080/file/010411-112.jpg], то система функций [img: http://localhost:8080/file/010411-113.jpg] наз. усеченным г. о. Пусть имеется г. о. Xи охваченный им объект Y, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010411-114.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010411-115.jpg] Совокупность относительных компонент охватывающего г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-116.jpg], охваченного г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-117.jpg] и частных производных [img: http://localhost:8080/file/010411-118.jpg] вторых по первым является системой относительных компонент нового охваченного г. о.: [img: http://localhost:8080/file/010411-119.jpg] При этом, если для [img: http://localhost:8080/file/010411-120.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010411-121.jpg] выполняются уравнения (2), (4) соответственно, то [img: http://localhost:8080/file/010411-122.jpg] Г. о. (5) наз. производным г. о. Г. о. наз. линейным, или квазитензорным объектом, если группа преобразований его компонент линейна, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010411-123.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010411-124.jpg] то г. о. наз. линейным однородным объектом, или тензором. Г. о. - линейный объект тогда и только тогда, когда основные определяющие его функции имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/010411-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010411-126.jpg] - постоянное. Г. о. является линейным однородным объектом тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010411-127.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010411-128.jpg] Однокомпонентный тензор Xназ. инвариантом. Дифференциальные уравнения инварианта имеют вид [img: http://localhost:8080/file/010411-129.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010411-130.jpg] - постоянные. Если не все [img: http://localhost:8080/file/010411-131.jpg] равны нулю, инвариант наз. относительным. При [img: http://localhost:8080/file/010411-132.jpg] инвариант наз. абсолютным. Если [img: http://localhost:8080/file/010411-133.jpg] n-мерное дифференцируемое многообразие и [img: http://localhost:8080/file/010411-134.jpg] - локальные координаты точки [img: http://localhost:8080/file/010411-135.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010411-136.jpg] - некоторая область этого многообразия, то всегда можно ввести вполне интегрируемую систему плинейных линейно независимых дифференциальных форм qi, первыми интегралами к-рой являются координаты ui. Это означает, что [img: http://localhost:8080/file/010411-137.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010411-138.jpg] Рассмотрим систему rлинейных линейно независимых форм [img: http://localhost:8080/file/010411-139.jpg], удовлетворяющих следующим структурным уравнениям [img: http://localhost:8080/file/010411-140.jpg] Формы [img: http://localhost:8080/file/010411-141.jpg] имеют расслоенную структуру по отношению к формам [img: http://localhost:8080/file/010411-142.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/010411-143.jpg] т. е. при [img: http://localhost:8080/file/010411-144.jpg] становятся инвариантными формами r-членной группы Ли G со структурными константами [img: http://localhost:8080/file/010411-145.jpg]. Говорят, что на Vn задано (локально) поле г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-146.jpg], присоединенного к группе G (поле G-объекта), если в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010411-147.jpg] этого многообразия, определен г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-148.jpg], присоединенный к нек-рой группе Ли G(G-объект). При этом [img: http://localhost:8080/file/010411-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010411-150.jpg] - абсолютные координаты объекта [img: http://localhost:8080/file/010411-151.jpg]. Следовательно [img: http://localhost:8080/file/010411-152.jpg] Иначе, система функций [img: http://localhost:8080/file/010411-153.jpg], удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/010411-154.jpg] наз. полем г. о., присоединенного к группе G, если система [img: http://localhost:8080/file/010411-155.jpg] вполне интегрируема. Г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-156.jpg] наз. образующим объектом поля, а функции [img: http://localhost:8080/file/010411-157.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010411-158.jpg] становятся относительными компонентами г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-159.jpg]. Уравнения наз. дифференциальными уравнениями поля г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-160.jpg] Поле г. о. определяет сечение в присоединенном расслоенном пространстве, базой к-рого являются [img: http://localhost:8080/file/010411-161.jpg], а слоями - пространства данного геометрич. объекта. Функции [img: http://localhost:8080/file/010411-162.jpg] наз. основными определяющими полефункциями, коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010411-163.jpg] - дополнительными определяющими функциями ноля г. о. (или пфаффовыми производными поля). Совокупность функций [img: http://localhost:8080/file/010411-164.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010411-165.jpg] также является системой относительных компонент г. о., к-рый наз. продолжением г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-166.jpg], или продолженным г. о. первого порядка г. о. [img: http://localhost:8080/file/010411-167.jpg]. Система дифференциальных уравнений (6) поля г. о. правильно продолжаема но формам qk. Это означает, что в результате внешнего дифференцирования системы получается квадратичная система вида [img: http://localhost:8080/file/010411-168.jpg] где Система [img: http://localhost:8080/file/010411-169.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010411-170.jpg] вместе с системой (6) образует систему дифференциальных уравнений поля продолженного г. о. Система (6) - (7), в свою очередь, правильно продолжаема. После q- гопродолжения получается система дифференциальных уравнений поля продолженного г. о. порядка qс относительными компонентами [img: http://localhost:8080/file/010411-171.jpg] Если группа G, к к-рой присоединен г. о., является дифференциальной группой [img: http://localhost:8080/file/010411-172.jpg] порядка р, то г. о. наз. дифференциально-геометрическим объектом, а поле такого объекта- полем дифференциально-геометрического объекта. Если образующий объект поля охватывает другой объект (охватывается другим объектом), то поле первого наз. охватывающим (охваченны м), а поле второго - охваченным (охватывающим). Если на дифференцируемом многообразии [img: http://localhost:8080/file/010411-173.jpg] задано поле г. о., то [img: http://localhost:8080/file/010411-174.jpg] наз. оснащенным, а заданное поле и образующий его объект - оснащающим полем и, соответственно, объектом. Поле оснащающего г. о. индуцирует на [img: http://localhost:8080/file/010411-175.jpg] дифференциально-геометрич. структуру (G-структуру в широком смысле слова). Поэтому оснащающий объект наз. также и структурным объектом. Тип структуры определяется типом структурного объекта.