Геометрия чисел

геометрическая теория чисел,- раздел теории чисел, изучающий теоретико-числовые проблемы с применением геометрич. методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась с выходом основополагающей монографии Г. Минков-ского [1] в 1896. Исходным пунктом направления, развившегося в самостоятельный раздел теории чисел, явилось то обстоятельство (подмеченное Г. Минковским), что нек-рые предложения, почти очевидные при рассмотрении фигур в n-мерном евклидовом пространстве, имеют глубокие следствия в теории чисел. Основной и типичной задачей Г. ч. является задача об арифметич. минимуме [img: http://localhost:8080/file/010412-1.jpg] нек-рой действительной функции [img: http://localhost:8080/file/010412-2.jpg] при этом под [img: http://localhost:8080/file/010412-3.jpg] понимается точная нижняя граница значений функции [img: http://localhost:8080/file/010412-4.jpg], когда хпробегает все целые точки (т. е. точки с целочисленными координатами), удовлетворяющие нек-рому дополнительному условию (напр., условию [img: http://localhost:8080/file/010412-5.jpg]). В важнейших частных случаях эта задача решается теоремой Минковского о выпуклом теле, к-рая может быть сформулирована так: пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-6.jpg] есть n-мерное выпуклое тело объема [img: http://localhost:8080/file/010412-7.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010412-8.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010412-9.jpg] Значение m(F).позволяет судить об условиях существования решений диофантова неравенства (см. Диофантовы приближения) [img: http://localhost:8080/file/010412-10.jpg] к этому вопросу сводятся многие задачи теории чисел. Особым разделом Г. ч. является геометрия квадратичных форм. В Г. ч. различают два общих типа проблем, наз. однороднойи неоднородной проблемами. Однородная проблема, исследования по к-рой составляют большую часть Г. ч., посвящена изуг чению однородных минимумов [img: http://localhost:8080/file/010412-11.jpg] лучевой функции F в точечной решетке Л. Понятие точечной решетки является основным понятием Г. ч. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-12.jpg] - линейно независимые векторы n-мерного евклидова пространства. Множество точек [img: http://localhost:8080/file/010412-13.jpg] когда [img: http://localhost:8080/file/010412-14.jpg] пробегают независимо друг от друга все целые числа, наз. (точечной) решеткой [img: http://localhost:8080/file/010412-15.jpg] с базисом [img: http://localhost:8080/file/010412-16.jpg] и определителем [img: http://localhost:8080/file/010412-17.jpg] Пусть в [img: http://localhost:8080/file/010412-18.jpg] заданы лучевая функция [img: http://localhost:8080/file/010412-19.jpg] и решетка [img: http://localhost:8080/file/010412-20.jpg] определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-21.jpg]. Точная нижняя граница [img: http://localhost:8080/file/010412-22.jpg] значений функции Fв точках [img: http://localhost:8080/file/010412-23.jpg] решетки [img: http://localhost:8080/file/010412-24.jpg] наз. минимумом функции Fв решетке [img: http://localhost:8080/file/010412-25.jpg] (точнее, однородным арифметическим минимумом). Точная нижняя граница [img: http://localhost:8080/file/010412-26.jpg], к-рая может и не достигаться, заведомо достигается для ограниченного звездного тела, определяемого неравенством [img: http://localhost:8080/file/010412-27.jpg] Для оценки [img: http://localhost:8080/file/010412-28.jpg] сверху важно уметь вычислять или оценивать постоянную Эрмита [img: http://localhost:8080/file/010412-29.jpg] лучевой функции [img: http://localhost:8080/file/010412-31.jpg], определяемую равенством [img: http://localhost:8080/file/010412-30.jpg] где точная верхняя граница берется по множеству [img: http://localhost:8080/file/010412-32.jpg] всех га-мерных решеток [img: http://localhost:8080/file/010412-33.jpg]. Центральным пунктом Г. ч. является установление связи между [img: http://localhost:8080/file/010412-34.jpg], критич. определителем (см. ниже) [img: http://localhost:8080/file/010412-35.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/010412-36.jpg] и (если F - симметричная выпуклая лучевая функция) плотностью [img: http://localhost:8080/file/010412-37.jpg] плотнейшей решетчатой упаковки тела [img: http://localhost:8080/file/010412-38.jpg]. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010412-39.jpg] заданы множество [img: http://localhost:8080/file/010412-40.jpg] и решетка Л определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-41.jpg] Решетка [img: http://localhost:8080/file/010412-42.jpg] наз. допустимой для [img: http://localhost:8080/file/010412-43.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010412-44.jpg] -допустимой, если [img: http://localhost:8080/file/010412-45.jpg] не содержит точек из [img: http://localhost:8080/file/010412-46.jpg], отличных от 0. Множество [img: http://localhost:8080/file/010412-47.jpg], имеющее хотя бы одну допустимую решетку, наз. множеством конечного типа; в противном случае [img: http://localhost:8080/file/010412-48.jpg] наз. множеством бесконечного типа. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-49.jpg] - множество конечного типа; точная нижняя граница [img: http://localhost:8080/file/010412-50.jpg] множества определителей [img: http://localhost:8080/file/010412-51.jpg] всех [img: http://localhost:8080/file/010412-52.jpg] -допустимых решеток [img: http://localhost:8080/file/010412-53.jpg] наз. критическим определителем [img: http://localhost:8080/file/010412-54.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/010412-55.jpg]. Всякая [img: http://localhost:8080/file/010412-56.jpg] -допустимая решетка [img: http://localhost:8080/file/010412-57.jpg] с условием [img: http://localhost:8080/file/010412-58.jpg] наз. критической решеткой множества [img: http://localhost:8080/file/010412-59.jpg] Для множества [img: http://localhost:8080/file/010412-60.jpg] бесконечного типа, по определению, [img: http://localhost:8080/file/010412-61.jpg] Вычисление постоянной Эрмита [img: http://localhost:8080/file/010412-62.jpg] лучевой функции [img: http://localhost:8080/file/010412-63.jpg] сводится к вычислению критич. определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-64.jpg] звездного тела [img: http://localhost:8080/file/010412-65.jpg] определяемого условием [img: http://localhost:8080/file/010412-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010412-67.jpg] Связь между критич. определителем и плотностью плотнейшей решетчатой упаковки устанавливается следующей теоремой Блихфельдта. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-68.jpg] - произвольное множество, [img: http://localhost:8080/file/010412-69.jpg] - соответствующее ему разностное множество (т. е. совокупность точек [img: http://localhost:8080/file/010412-70.jpg]) и пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-71.jpg] - решетка. Для того чтобы расположение [img: http://localhost:8080/file/010412-72.jpg], т. е. семейство множеств [img: http://localhost:8080/file/010412-73.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010412-74.jpg], было упаковкой, необходимо и достаточно, чтобы решетка [img: http://localhost:8080/file/010412-75.jpg] была [img: http://localhost:8080/file/010412-76.jpg] допустимой. Плотность [img: http://localhost:8080/file/010412-77.jpg] плотнейшей решетчатой упаковки ограниченного измеримого по Лебегу множества [img: http://localhost:8080/file/010412-78.jpg] меры [img: http://localhost:8080/file/010412-79.jpg] выражается равенством [img: http://localhost:8080/file/010412-80.jpg] Для произвольного множества [img: http://localhost:8080/file/010412-81.jpg] и измеримого по Лебегу множества [img: http://localhost:8080/file/010412-82.jpg] меры [img: http://localhost:8080/file/010412-83.jpg], удовлетворяющего условию [img: http://localhost:8080/file/010412-84.jpg], справедливо неравенство (другая формулировка теоремы Блихфельдта): [img: http://localhost:8080/file/010412-85.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010412-86.jpg] - выпуклое тело, симметричное относительно точки О, то [img: http://localhost:8080/file/010412-87.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010412-88.jpg] - плотность плотнейшей решетчатой упаковки тела [img: http://localhost:8080/file/010412-89.jpg] Так что в случае симметричной выпуклой лучевой функции [img: http://localhost:8080/file/010412-90.jpg] вычисление [img: http://localhost:8080/file/010412-91.jpg] сводится к вычислению плотнейшей решетчатой упаковки тела [img: http://localhost:8080/file/010412-92.jpg], определяемого условием [img: http://localhost:8080/file/010412-93.jpg] Важнейшим предложением Г. ч. является теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-94.jpg] - выпуклое тело, симметричное относительно начала координат и имеющее объем [img: http://localhost:8080/file/010412-95.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010412-96.jpg] Иными словами, решетка [img: http://localhost:8080/file/010412-97.jpg], для к-рой [img: http://localhost:8080/file/010412-98.jpg] имеет в [img: http://localhost:8080/file/010412-99.jpg] точку, отличную от 0. Неравенство (1) наз. неравенством Минковского; оно дает оценку снизу для критич. определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-100.jpg] выпуклого тела [img: http://localhost:8080/file/010412-101.jpg], симметричного относительно 0. Эта оценка, вообще говоря, неулучшаема. Для достижения равенства необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010412-102.jpg]. Выпуклые тела [img: http://localhost:8080/file/010412-103.jpg], удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/010412-104.jpg], наз. параллелоэдрами. Они играют важную роль в Г. ч. и кристаллографии математической. Все приложения теоремы Минковского о выпуклом теле основаны на том, что для выпуклой симметричной лучевой функции [img: http://localhost:8080/file/010412-105.jpg] и произвольной решетки [img: http://localhost:8080/file/010412-106.jpg] определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-107.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/010412-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010412-109.jpg] В частности, для решетки [img: http://localhost:8080/file/010412-110.jpg] целых точек и лучевой функции [img: http://localhost:8080/file/010412-111.jpg] справедлива теорема Минковского о линейных однородных формах. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-112.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010412-113.jpg] - действительные числа, [img: http://localhost:8080/file/010412-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010412-115.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010412-116.jpg] то найдутся целые числа [img: http://localhost:8080/file/010412-117.jpg] не равные одновременно нулю и удовлетворяющие системе линейных неравенств [img: http://localhost:8080/file/010412-118.jpg] В Г. ч. изучаются последовательные минимумы лучевой функции в решетке. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-119.jpg] - лучевая функция, [img: http://localhost:8080/file/010412-120.jpg] - решетка и пусть зафиксирован индекс i, [img: http://localhost:8080/file/010412-121.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010412-122.jpg] последовательным минимумом [img: http://localhost:8080/file/010412-123.jpg] функции Fв решетке [img: http://localhost:8080/file/010412-124.jpg] наз. точная нижняя граница чисел [img: http://localhost:8080/file/010412-125.jpg], для к-рых множество [img: http://localhost:8080/file/010412-126.jpg] содержит не менее г линейно независимых точек решетки [img: http://localhost:8080/file/010412-127.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/010412-128.jpg] Справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/010412-129.jpg] Труднее оценить сверху величину [img: http://localhost:8080/file/010412-130.jpg] Для этого надо уметь вычислять или оценивать сверху величину [img: http://localhost:8080/file/010412-131.jpg] где точная верхняя граница берется по всем п-мер-ным решеткам [img: http://localhost:8080/file/010412-132.jpg]. Величина [img: http://localhost:8080/file/010412-133.jpg] наз. аномалией лучевой функции F, или аномалией множества [img: http://localhost:8080/file/010412-134.jpg]. Имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/010412-135.jpg] Оценку [img: http://localhost:8080/file/010412-136.jpg] сверху дает (см. [4], с. 254-57) следующая теорема. Пусть Fесть n-мерная лучевая функция с аномалией [img: http://localhost:8080/file/010412-137.jpg]; тогда [img: http://localhost:8080/file/010412-138.jpg] Построены примеры, показывающие, что эта оценка, вообще говоря, не улучшаема. Если F- выпуклая симметричная лучевая функция, то предполагается (гипотеза об аномалии выпуклого тела), что [img: http://localhost:8080/file/010412-139.jpg] Справедлива вторая теорема Минковского о выпуклом теле, уточняющая первую теорему. Если [img: http://localhost:8080/file/010412-140.jpg] - симметричная выпуклая лучевая функция и [img: http://localhost:8080/file/010412-141.jpg] - решетка, то [img: http://localhost:8080/file/010412-142.jpg] где выпуклое тело [img: http://localhost:8080/file/010412-143.jpg] определяется условием [img: http://localhost:8080/file/010412-144.jpg] Понятие последовательных минимумов и основные относящиеся к ним результаты (исключая последнюю теорему) обобщаются со звездных тел [img: http://localhost:8080/file/010412-145.jpg] на произвольные множества [img: http://localhost:8080/file/010412-146.jpg] (см. [9], с.44-46). Следующее предложение оценивает критнч. определитель данного множества сверху: для любого измеримого по Лебегу множества [img: http://localhost:8080/file/010412-147.jpg] меры [img: http://localhost:8080/file/010412-148.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010412-149.jpg] при этом, если [img: http://localhost:8080/file/010412-150.jpg] - симметричное относительно О звездное тело, то [img: http://localhost:8080/file/010412-151.jpg] Все доказательства этой теоремы включают в себя то или иное усреднение нек-рой функции, заданной на пространстве решеток. Наиболее естественный вывод дает (см., напр., [12]) следующая теорема 3игеля о среднем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-152.jpg] - интегрируемая по Лебегу функция, заданная на n-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010412-153.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010412-154.jpg] - инвариантная мера, заданная на пространстве решеток Л с определителем = 1; [img: http://localhost:8080/file/010412-155.jpg] - фундаментальная область этого пространства. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010412-156.jpg] В отличие от оценки снизу (1), оценки (2) и (3) не являются окончательными (уточнение см. [13]). Оценки крнтнч. определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-157.jpg] данного множества [img: http://localhost:8080/file/010412-158.jpg] снизу и сверху приводят к оценкам [img: http://localhost:8080/file/010412-159.jpg] сверху и снизу, т. е. к решению (в известном смысле) однородной задачи Г. ч. Однако часто бывает важно знать и точное значение [img: http://localhost:8080/file/010412-160.jpg] или точное значение критич. определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-161.jpg] для заданного множества [img: http://localhost:8080/file/010412-162.jpg] (скажем, для иорменного тела данного алгебраического числового поля). Если [img: http://localhost:8080/file/010412-163.jpg] - заданное ограниченное звездное тело, то, в принципе, можно указать алгоритм, позволяющий свести задачу отыскания всех критнч. решеток тела [img: http://localhost:8080/file/010412-164.jpg] (а следовательно, и [img: http://localhost:8080/file/010412-165.jpg]) к конечному числу обычных задач на экстремум нек-рых функций нескольких переменных. Однако этот алгоритм осуществим (при современном состоянии исследований) лишь для выпуклых тел [img: http://localhost:8080/file/010412-166.jpg] при числе измерений [img: http://localhost:8080/file/010412-167.jpg] (см. [4], с. 185-86, 199-202). Для неограниченных звездных тел [img: http://localhost:8080/file/010412-168.jpg] нахождение [img: http://localhost:8080/file/010412-169.jpg], вообще говоря, значительно сложнее; это показывает явление изоляции однородных арпф-метич. минимумов, состоящее в следующем. Пусть F- лучевая функция в [img: http://localhost:8080/file/010412-170.jpg] и пусть на множестве [img: http://localhost:8080/file/010412-171.jpg] всех решеток [img: http://localhost:8080/file/010412-172.jpg] задана величина [img: http://localhost:8080/file/010412-173.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/010412-174.jpg] возможных значений [img: http://localhost:8080/file/010412-175.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010412-176.jpg] наз. спектром Маркова лучевой функции F. Говорят, что для Fимеет место явление изоляции, если множество [img: http://localhost:8080/file/010412-177.jpg] имеет изолированные точки. Множество [img: http://localhost:8080/file/010412-178.jpg] лежит на промежутке [img: http://localhost:8080/file/010412-179.jpg]. Если звездное тело [img: http://localhost:8080/file/010412-180.jpg] ограничено, то ' [img: http://localhost:8080/file/010412-181.jpg] Поэтому явление изоляции возможно лишь для неограниченных звездных тел (см. [4], гл. 10). Наиболее исследован случай п=2 [img: http://localhost:8080/file/010412-182.jpg] То, что здесь возникает явление изоляции, впервые заметили (см. [14]) А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев (и это был вообще первый пример явления изоляции). А. А. Марковым (1879, см. [14]) доказано, что часть спектра [img: http://localhost:8080/file/010412-183.jpg] лежащая правее [img: http://localhost:8080/file/010412-184.jpg] дискретна; она имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010412-185.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010412-186.jpg] - возрастающая последовательность целых положительных чисел, обладающих тем свойством, что найдутся целые числа [img: http://localhost:8080/file/010412-187.jpg] удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/010412-188.jpg] каждой точке спектра (5) ("спектр Маркова" в узком смысле) отвечает единственная, с точностью до автоморфизмов (4), решетка [img: http://localhost:8080/file/010412-189.jpg]. Неопределенная форма [img: http://localhost:8080/file/010412-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010412-191.jpg] иногда наз. формойМаркова, а последовательность [img: http://localhost:8080/file/010412-192.jpg] наз. цепочкой Маркова. Известно также, что левее нек-рого числа [img: http://localhost:8080/file/010412-193.jpg] спектр [img: http://localhost:8080/file/010412-194.jpg] совпадает с отрезком [img: http://localhost:8080/file/010412-195.jpg]. Явление изоляции можно описать в терминах допустимых решеток (см. [9], с. 50), что несколько обобщает это понятие. Неоднородная проблема охватывает неоднородные диофантовы задачи, играющие большую роль в теории чисел, она составляет важный раздел Г. ч. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-196.jpg] - лучевая функция в [img: http://localhost:8080/file/010412-197.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010412-198.jpg] - решетка определителя [img: http://localhost:8080/file/010412-199.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010412-200.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010412-201.jpg] - действительная точка в [img: http://localhost:8080/file/010412-202.jpg]. Рассматриваются величины [img: http://localhost:8080/file/010412-203.jpg] где точная нижняя граница берётся по всем точкам вида, [img: http://localhost:8080/file/010412-204.jpg] а точная верхняя граница берется по всем точкам [img: http://localhost:8080/file/010412-205.jpg]. Величина [img: http://localhost:8080/file/010412-206.jpg] наз. неоднородным арифметическим минимуме м функции Fв решетке [img: http://localhost:8080/file/010412-207.jpg]; при этом "минимум" может и не достигаться. [img: http://localhost:8080/file/010412-208.jpg] есть точная нижняя граница действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010412-209.jpg], обладающих следующим свойством: расположение [img: http://localhost:8080/file/010412-210.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/010412-211.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010412-212.jpg] удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/010412-213.jpg], по решетке [img: http://localhost:8080/file/010412-214.jpg] является покрытием, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010412-215.jpg] Для лучевой функции Fрассматриваются аналоги постоянной Эрмита: [img: http://localhost:8080/file/010412-216.jpg] где точная нижняя (верхняя) граница берется по всем n-мерным решеткам [img: http://localhost:8080/file/010412-217.jpg]. Величина [img: http://localhost:8080/file/010412-218.jpg] обычно тривиальна (см. [4], с. 369-70): если множество [img: http://localhost:8080/file/010412-219.jpg], имеет конечный объем, то [img: http://localhost:8080/file/010412-220.jpg] Однако в одном, представляющем интерес, частном случае функции [img: http://localhost:8080/file/010412-221.jpg], с величиной [img: http://localhost:8080/file/010412-222.jpg] связана неоднородная проблема Минковского. Гипотеза Мпнковского о произведении неоднородных линейных форм. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-223.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/010412-224.jpg] Исследования по этой гипотезе и ее аналогам составляют более половины всех исследований по неоднородной проблеме Г. ч. (см. Минковского гипотеза). В общем случае величина [img: http://localhost:8080/file/010412-225.jpg] носит характер более содержательный, чем [img: http://localhost:8080/file/010412-226.jpg]. Она тесно связана со значением плотности [img: http://localhost:8080/file/010412-227.jpg] экономнейшего решетчатого покрытия телом [img: http://localhost:8080/file/010412-228.jpg] (см. [7], [10]). Именно, если F - лучевая функция и множество [img: http://localhost:8080/file/010412-229.jpg] ограничено, то [img: http://localhost:8080/file/010412-230.jpg] Важный раздел неоднородной проблематики Г. ч. составляют так наз. теоремы переноса для данной лучевой функции F, под к-рыми понимаются неравенства, связываюяре неоднородный минимум [img: http://localhost:8080/file/010412-231.jpg] с последовательными однородными минимумами [img: http://localhost:8080/file/010412-232.jpg] (или минимумами взаимной функции [img: http://localhost:8080/file/010412-233.jpg] относительно взаимной решетки [img: http://localhost:8080/file/010412-234.jpg], и т. п.) (см. [4], с. 380-90). Пример: пусть F - симметричная выпуклая лучевая функция и пусть [img: http://localhost:8080/file/010412-235.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010412-236.jpg]; тогда для любой решетки [img: http://localhost:8080/file/010412-237.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010412-238.jpg] Имеются обобщения Г. ч. на пространства, более общие, чем Rn, а также на дискретные множества, более общие, чем Л (см. [15], [10]).