Геотермики математические задачи

математич. задачи, возникающие при исследовании тепловых процессов, происходящих в Земле. В геотермике различают поверхностные явления, связанные с колебаниями температуры в верхних слоях Земли вследствие воздействия солнечного излучения, и глубинные явления, связанные с распределением температуры внутри Земля, обусловленным радиоактивными источниками тепла. Г. м. з. в основном связаны с решением квазилинейных уравнений параболич. типа, коэффициенты к-рых изменяются с глубиной погружения и зависят от температуры. При изучении промерзания в верхних слоях Земли или процессов плавления в глубинных слоях учитывается фазовый переход, т. е. изменение физич. состояния среды. При этом возникает так наз. Стефана задача или задача о фазовом переходе. Наиболее эффективным методом численного решения этих задач является метод конечных разностей, широко используемый на практике. Ряд задач геотермики связан с исследованием взаимодействия температурного поля с другими физич. явлениями. При анализе задач промерзания грунта с учетом подтока воды решаются совместно уравнения теплопроводности и уравнения фильтрации. Исследование температурного распределения в водной толще приводит к необходимости совместного рассмотрения уравнения теплопроводности и уравнения конвекции. Анализ термоупругпх напряжений в Земле и связанных с этим эффектов расширения и деформации Земли проводится на основе совместного решения уравнения теплопроводности и уравнения упругого равновесия в гравитационном поле. Среди Г. м. з. имеется ряд специфических задач. Так, задача об определении историч. климата Земли привела к математич. постановке обратной задачи для уравнения теплопроводности, где надо определить температуры для моментов времени [img: http://localhost:8080/file/010413-1.jpg] по заданному распределению температуры но глубине в момент времени [img: http://localhost:8080/file/010413-2.jpg] Решение уравнения теплопроводности [img: http://localhost:8080/file/010413-3.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/010413-4.jpg] определяется однозначно по заданным значениям [img: http://localhost:8080/file/010413-5.jpg], если хотя бы одна производная решения по координате хравномерно ограничена [img: http://localhost:8080/file/010413-6.jpg] (см. [1]). Учет влияния излучения на температурный режим Земли и др. небесных тел приводит к задаче для уравнения теплопроводности при нелинейных краевых условиях, в частности при излучении по Стефана - Больцмана закону. Эти задачи могут быть сведены к нелинейным интегральным уравнениям типа Вольтерра (см. [1]).