Гиббса распределение

распределение вероятностей обнаружения равновесной статистич. системы в любом из ее стационарных микроскопич. состояний. Последние обычно задаются как чистые квантово-механич. состояния, определяемые решением yn стационарного Шрёдингера уравнения [img: http://localhost:8080/file/010413-72.jpg] где п - полный набор квантовых чисел, фиксирующих каждое из этих состояний. Сопоставление каждому состоянию пвероятности [img: http://localhost:8080/file/010413-73.jpg] обнаружения системы в этом состоянии (для непрерывного спектра величин n - плотности вероятности) полностью определяет, вместе с набором функций [img: http://localhost:8080/file/010413-74.jpg], так наз. смешанное кван-товомеханич. состояние. Для такого состояния наблюдаемые величины определяются как средние по распределению [img: http://localhost:8080/file/010413-75.jpg] от квантовомеханич. средних для каждого чистого состояния п. Смешанное состояние полностью характеризуется статистич. оператором Неймана (матрицей плотности), к-рый в х - представлении имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010413-76.jpg] Наблюдаемые средние определяются как [img: http://localhost:8080/file/010413-77.jpg] В случае Г. р. смешанное состояние соответствует равновесному термодинамич. состоянию системы. Так как Г. р. имеют структуру [img: http://localhost:8080/file/010413-78.jpg] где А - совокупность термодинамич. параметров, фиксирующих микроскопич. состояние системы, то соответствующие им операторы [img: http://localhost:8080/file/010413-79.jpg] выражаются непосредственно через оператор Гамильтона, [img: http://localhost:8080/file/010413-80.jpg] В зависимости от выбора параметров A возможны различные формы Г. р., из к-рых наиболее распространены следующие. Микроканоническое Г. р. Параметры Ахарактеризуют состояние изолированной системы и включают энергию [img: http://localhost:8080/file/010413-81.jpg], объем V, внешние поля аи число частиц [img: http://localhost:8080/file/010413-82.jpg] (в случае многокомпонентной системы - совокупность чисел [img: http://localhost:8080/file/010413-83.jpg]). В этом случае Г. р. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010413-84.jpg] где Г- статистический вес, определяющий нормировку распределения и равный [img: http://localhost:8080/file/010413-85.jpg] причем сумма (или интеграл) берется по всем различным состояниям системы вне зависимости от их вырожденности по [img: http://localhost:8080/file/010413-86.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/010413-87.jpg] равна единице, если значение [img: http://localhost:8080/file/010413-88.jpg] попадает в энергетич. слой [img: http://localhost:8080/file/010413-89.jpg] около значения [img: http://localhost:8080/file/010413-90.jpg], и нулю в противном случае. Ширина [img: http://localhost:8080/file/010413-91.jpg] должна быть значительно меньше макроскопических бесконечно малых изменений энергии [img: http://localhost:8080/file/010413-92.jpg], но не меньше интервала между уровнями энергии [img: http://localhost:8080/file/010413-93.jpg]. Статнстич. вес Г определяет число мнкроскопич. способов, к-рыми может осуществляться данное макроскопич. состояние и к-рые предполагаются равновероятными; он связан с энтропией системы выражением [img: http://localhost:8080/file/010413-94.jpg] Каноническое Г. р. Макроканонич. состояние системы фиксируется температурой [img: http://localhost:8080/file/010413-95.jpg] и величинами V, а. N (система "в термостате"); с точки зрения приложений это наиболее удобный способ задания термодинамич. состояния. Канонич. Г. р. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010413-96.jpg] где Z - статистическая сумма (или сумма состояний) [img: http://localhost:8080/file/010413-97.jpg] непосредственно связана со свободной энергией системы выражением [img: http://localhost:8080/file/010413-98.jpg] Большое каноническое Г. р. Параметры Афиксируют состояние системы в термостате, ограниченном воображаемыми стенками, свободно пропускающими частицы. Это [img: http://localhost:8080/file/010413-99.jpg] и химич. потенциал m (в случае многокомпонентной системы - несколько химич. потенциалов). Г. р. по микроскопич. состояниям, определяемым числом частиц Nи квантовыми числами [img: http://localhost:8080/file/010413-100.jpg] системы Nтел, имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010413-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010413-102.jpg] - большая сумма состояний [img: http://localhost:8080/file/010413-103.jpg] определяющая нормировку этого распределения, связана с термодинамич. потенциалом [img: http://localhost:8080/file/010413-104.jpg] (р - давление) соотношением [img: http://localhost:8080/file/010413-105.jpg] Использование какого-либо Г. р. позволяет на основе микроскопич. задания статистич. системы рассчитать характерные для нее макроскопич. средние, дисперсии и т. д., а при помощи нормировочных сумм [img: http://localhost:8080/file/010413-106.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010413-107.jpg] - определить все термодинамич. характеристики равновесной системы. Выбор того пли иного Г. р. производится из соображений удобства. В статистическом предельном случае [img: http://localhost:8080/file/010413-108.jpg] получаемые при помощи Г. р. результаты (выраженные в одних н тех же переменных) в главных асимптотиках по N одинаковы. А так как метод Гиббса гарантирует только такие асимптотики, то все варианты Г. р. оказываются идентичными. Микроканонич. Г. р. используется в основном применительно к общим вопросам статистич. механики (параметры Ане включают специфичных термодинамич. величин типа [img: http://localhost:8080/file/010413-109.jpg] н т. и.), канонич. Г. р.- главным образом при рассмотрении классич. систем, большое канонич. Г. р.- при исследованиях квантовых систем, когда фиксация точного числа N по технич. соображениям неудобна. При определенных значениях параметров А, связываемых обычно с повышением [img: http://localhost:8080/file/010413-110.jpg] (при фиксированных остальных параметрах) сверх определенной температуры вырождения (имеющей разные значения для каждого вида микроскопич. движения), общие Г. р. переходят в квазиклассические (по отношению к переменным, для к-рых связанное с их изменением движение невырождено). В случае невырожденной системы N частиц, когда микроскопич. движение представляется как классич. движение N материальных точек, микроскопич. состояние задается фазовой точкой [img: http://localhost:8080/file/010413-111.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010413-112.jpg] энергия определяется классич. гамильтонианом [img: http://localhost:8080/file/010413-113.jpg], а канонич. Г. р. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010413-114.jpg] где классич. интеграл состояний (квазиклассич. предел статистич. суммы) равен [img: http://localhost:8080/file/010413-115.jpg] Г. р. введены Дж. Гиббсом (J. Gibbs, 1902).