Гильберта неравенство

- теорема Гильберта о двойных рядах: [img: http://localhost:8080/file/010414-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010414-76.jpg] и ряды в правой части имеют конечные положительные суммы, причем константа [img: http://localhost:8080/file/010414-77.jpg] - точная, т. е. не может быть уменьшена. Д. Гильберт (D. Hilbert) доказал (*) без точной константы в своих лекциях но интегральным уравнениям. Его доказательство было опубликовано Г. Вейлем [1]. Точная константа найдена И. Шуром [2], а неравенство (*) с произвольным [img: http://localhost:8080/file/010414-78.jpg] впервые приводится в работах Г. Харди (G. Hardy) и М. Рисса (М. Riesz) в 1925. Имеются интегральные аналоги и обобщения неравенства (*), напр., неравенство [img: http://localhost:8080/file/010414-79.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010414-80.jpg] - неотрицательное ядро, однородное со степенью [img: http://localhost:8080/file/010414-81.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010414-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010414-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010414-84.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010414-85.jpg] и полученный ранее [4] частный случай этого неравенства с ядром [img: http://localhost:8080/file/010414-86.jpg] (так наз. двупараметри-ческое Г. н.) и константой [img: http://localhost:8080/file/010414-87.jpg]. Точность этой константы доказана при [img: http://localhost:8080/file/010414-88.jpg]. Она является также асимптотически точной при [img: http://localhost:8080/file/010414-89.jpg] и произвольном допустимом фиксированном q. Вопрос об асимптотике константы в (*) для конечных сумм [img: http://localhost:8080/file/010414-90.jpg] не решен (1977); здесь известно только, что при [img: http://localhost:8080/file/010414-91.jpg] константа равна [img: http://localhost:8080/file/010414-92.jpg]