Гильберта преобразование

функции f- несобственный интеграл [img: http://localhost:8080/file/010414-93.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010414-94.jpg], то функция gсуществует почти для всех значений х. Если [img: http://localhost:8080/file/010414-95.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010414-96.jpg], тогда функция gтакже принадлежит [img: http://localhost:8080/file/010414-97.jpg] и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]: [img: http://localhost:8080/file/010414-98.jpg] где константа. [img: http://localhost:8080/file/010414-99.jpg] зависит только от р. Формулы (1), (2) эквивалентны формулам [img: http://localhost:8080/file/010414-100.jpg] в к-рых интегралы понимаются в смысле главного значения. Г. п. функции f называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл [img: http://localhost:8080/file/010414-101.jpg] Этот интеграл часто наз. Гильберта сингулярным интегралом. В теории рядов Фурье функцию [img: http://localhost:8080/file/010414-102.jpg] определяемую формулой (6), наз. сопряженной с f. Если [img: http://localhost:8080/file/010414-103.jpg] то gсуществует почти всюду, а если f удовлетворяет условию Липшица с показателем [img: http://localhost:8080/file/010414-104.jpg] то gсуществует при любом x и удовлетворяет тому же условию. Если [img: http://localhost:8080/file/010414-105.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010414-106.jpg] обладает тем же свойством и имеет место неравенство, аналогичное (3), в к-ром интегралы взяты на интервале (0,2p). Таким образом, интегральные операторы, порождаемые Г. п., являются ограниченными (линейными) операторами в соответствующих пространствах [img: http://localhost:8080/file/010414-107.jpg] Когда f удовлетворяет условию Липшица или [img: http://localhost:8080/file/010414-108.jpg] и, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/010414-109.jpg] то имеет место двойственная формула [img: http://localhost:8080/file/010414-110.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010414-111.jpg] В классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, равенство (7) справедливо всюду, а в классе функций, суммируемых с р-й степенью, - почти всюду. Каждую из выписанных выше двойственных формул [напр. (4), (5)] можно рассматривать как интегральное уравнение 1-го рода; тогда вторая формула даст решение этого уравнения. Когда функции [img: http://localhost:8080/file/010414-112.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010414-113.jpg] рассматриваются как ядра интегральных операторов, то их часто наз. Гильберта ядрам и Коши ядром. Между этими ядрами в случае единичной окружности существует простая связь: [img: http://localhost:8080/file/010414-114.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010414-115.jpg]