Гильберта - шмидта интегральный оператор

- ограниченный линейный интегральный оператор Т, действующий из пространства [img: http://localhost:8080/file/010415-136.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010415-137.jpg] и представимый в виде [img: http://localhost:8080/file/010415-138.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010415-139.jpg] - ядро оператора (см. [1]). Впервые такого рода операторы рассматривались Д. Гильбертом (D. Hilbert) и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1907. Г.- Ш. и. о. является вполне непрерывным оператором (см. [2]). Сопряженный к нему оператор также есть Г.- Ш. и. о. с ядром [img: http://localhost:8080/file/010415-140.jpg] [3]. Г.- Ш. и. о. будет самвсопряженным оператором тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010415-141.jpg] для почти всех [img: http://localhost:8080/file/010415-142.jpg] (относительно [img: http://localhost:8080/file/010415-143.jpg]). Для самосопряженного Г.- Ш. и. о. и его ядра имеют место разложения [img: http://localhost:8080/file/010415-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010415-145.jpg] - ортонормированная система собственных функций оператора Т, отвечающих собственным значениям [img: http://localhost:8080/file/010415-146.jpg] ряд (1) сходится по норме [img: http://localhost:8080/file/010415-147.jpg] а ряд (2) сходится по норме [img: http://localhost:8080/file/010415-148.jpg] (см. [4]). В условиях Мерсера теоремы ряд (2) сходится абсолютно и равномерно (см. [5]). Если [img: http://localhost:8080/file/010415-149.jpg] то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно (см. [4]). Линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/010415-150.jpg] является Г.- Ш. и. о. тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010415-151.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010415-152.jpg] -линейный оператор (см. [6]). Если [img: http://localhost:8080/file/010415-153.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010415-154.jpg] -конечная мера, то линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/010415-155.jpg] является Г.- Ш. и. о. тогда и только тогда, когда существует такая функция. [img: http://localhost:8080/file/010415-156.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/010415-157.jpg] неравенство [img: http://localhost:8080/file/010415-158.jpg] справедливо для почти всех [img: http://localhost:8080/file/010415-159.jpg] (относительно меры [img: http://localhost:8080/file/010415-160.jpg]) [7]. Таким образом, Г.- Ш. и. о. образуют двусторонний идеал в банаховой алгебре всех линейных ограниченных операторов, действующих из [img: http://localhost:8080/file/010415-161.jpg] в Г.- [img: http://localhost:8080/file/010415-162.jpg] Ш. и. о. играют важную роль в теории интегральных уравнений и в теории краевых задач (см. [8], [9]), так как операторы, возникающие во многих задачах математич. физики, либо сами являются Г.- Ш. и. о., либо их итерации нек-рого порядка обладают этим свойством. Естественным обобщением Г.- Ш. и. о. является Гильберта - Шмидта оператор.