Гильбертово пространство

векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией (х, у), определенной на [img: http://localhost:8080/file/010415-219.jpg] и обладающей следующими свойствами. [img: http://localhost:8080/file/010415-220.jpg] то существует такой элемент [img: http://localhost:8080/file/010415-221.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010415-222.jpg] элемент хназ. пределом последовательности [img: http://localhost:8080/file/010415-223.jpg]; 7) Н - бесконечномерное векторное пространство. Функция [img: http://localhost:8080/file/010415-224.jpg], удовлетворяющая аксиомам 1) - 5), наз. скалярным произведением, или внутренним произведением, элементов хи у. Величина [img: http://localhost:8080/file/010415-225.jpg] наз. нормой (или дли но и) элемента [img: http://localhost:8080/file/010415-226.jpg]. Имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/010415-227.jpg]. Если ввести в Нрасстояние между элементами [img: http://localhost:8080/file/010415-228.jpg] при помощи равенства [img: http://localhost:8080/file/010415-229.jpg] то Нпревращается в метрическое пространство. Два Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010415-230.jpg] наз. изоморфными (или изометрически изоморфным и), если существует взаимно однозначное соответствие [img: http://localhost:8080/file/010415-231.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010415-232.jpg] между [img: http://localhost:8080/file/010415-233.jpg], сохраняющее линейные операции и скалярное произведение. Г. п. составляют наиболее распространенный и важный для приложений класс бесконечномерных векторных пространств. Они представляют собой естественное обобщение понятия конечномерного векторного пространства со скалярным произведением (т. е. конечномерного евклидова пространства, или конечномерного унитарного пространства). Именно, если в конечномерном векторном пространстве (над полем действительных или комплексных чисел) задано скалярное произведение, то свойство 6), наз. по л нотой Г. п., выполняется автоматически. Бесконечномерные векторные пространства Нсо скалярным произведением наз. предгильбертовыми пространствами; существуют предгильбертовы пространства, в к-рых свойство 6) не выполняется. Всякое предгильбертово пространство может быть дополнено до Г. п. Иногда в определение Г. п. не включается условие бесконечномерности, т. е. предгильбертовым пространством наз. векторное пространство над полем комплексных (или действительных) чисел со скалярным произведением, а Г. п. наз. полное предгильбертово пространство. Примеры Г. п. 1) Комплексное пространство [img: http://localhost:8080/file/010415-234.jpg] (или l2). Элементами этого Г. п. являются бесконечные последовательности комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/010415-235.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010415-236.jpg] со сходящейся суммой квадратов модулей: [img: http://localhost:8080/file/010415-237.jpg] скалярное произведение определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010415-238.jpg] 2) Пространство [img: http://localhost:8080/file/010415-239.jpg] (обобщение примера 1)). Пусть Т - произвольное множество. Элементами Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010415-240.jpg] являются комплекснозначные функции х(t).на Т, отличные от нуля не более чем в счетном множестве точек [img: http://localhost:8080/file/010415-241.jpg] и такие, что ряд [img: http://localhost:8080/file/010415-242.jpg] сходится. Скалярное произведение определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010415-243.jpg] Всякое Г. п. изоморфно пространству [img: http://localhost:8080/file/010415-244.jpg] для нек-рого соответствующим образом подобранного Т. 3) Пространство [img: http://localhost:8080/file/010415-245.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/010415-246.jpg]) комплекснозначных функций [img: http://localhost:8080/file/010415-247.jpg], определенных на множестве Sс вполне аддитивной положительной мерой [img: http://localhost:8080/file/010415-248.jpg] (заданной на [img: http://localhost:8080/file/010415-249.jpg] -алгебре [img: http://localhost:8080/file/010415-250.jpg] -подмножеств множества [img: http://localhost:8080/file/010415-251.jpg]), измеримых и имеющих интегрируемый квадрат модуля: [img: http://localhost:8080/file/010415-252.jpg] В этом Г. п. скалярное произведение определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010415-253.jpg] 4) Соболева пространство [img: http://localhost:8080/file/010415-254.jpg], обозначаемое также [img: http://localhost:8080/file/010415-255.jpg] (см. Вложения теоремы). 5) Г. п. функций со значениями в Г. п Пусть Н- нек-рое Г. п. со скалярным произведением (x, у), [img: http://localhost:8080/file/010415-256.jpg]. Пусть, далее, [img: http://localhost:8080/file/010415-257.jpg] - произвольная область в [img: http://localhost:8080/file/010415-258.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010415-259.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010415-260.jpg] - функция се значениями в Н, измеримая в смысле Бохнера (см. Бохнера интеграл).и такая, что [img: http://localhost:8080/file/010415-261.jpg] где dx- мера Лебега на [img: http://localhost:8080/file/010415-262.jpg] (вместо меры Лебега можно взять любую другую положительную счетно аддитивную меру). Если на этом множестве функций определить скалярное произведение [img: http://localhost:8080/file/010415-263.jpg] то получится новое Г. п. H1. 6) Множество непрерывных Бора почти периодических функций на прямой образует предгильбертово пространство, если скалярное произведение определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010415-264.jpg] Существование предела вытекает из теории почти периодич. функций. Это пространство пополняется Безиковича почти периодическими функциями класса В 2. Пространства l2 и L2 были введены и изучены Д. Гильбертом [1] в основополагающих работах по теории интегральных уравнений и бесконечных квадратичных форм. Определение Г. п. было дано Дж. Нейманом [3], Ф. Риссом [4] п М. Стоуном [13], к-рые положили также начало его систематич. изучению. Г. п. является естественным обобщением обычного трехмерного пространства евклидовой геометрии, и многие геометрич. понятия имеют интерпретацию в Г. п., что позволяет говорить огеометрии Г. п. Два вектора х, уиз Г. п. Нназ. ортогональными [img: http://localhost:8080/file/010415-265.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010415-266.jpg] Два линейных многообразия [img: http://localhost:8080/file/010415-267.jpg] из Я наз. ортогональными [img: http://localhost:8080/file/010415-268.jpg], если каждый элемент из [img: http://localhost:8080/file/010415-269.jpg] ортогонален каждому элементу из [img: http://localhost:8080/file/010415-270.jpg].Ортогональным дополнением множества [img: http://localhost:8080/file/010415-271.jpg] называется множество [img: http://localhost:8080/file/010415-272.jpg] т. е. множество элементов [img: http://localhost:8080/file/010415-273.jpg], ортогональных ко всем элементам из А. Оно обозначается [img: http://localhost:8080/file/010415-274.jpg] или, если Нподразумевается, [img: http://localhost:8080/file/010415-275.jpg]. Ортогональное дополнение [img: http://localhost:8080/file/010415-276.jpg] произвольного множества [img: http://localhost:8080/file/010415-277.jpg] из Несть замкнутое линейное многообразие. Если [img: http://localhost:8080/file/010415-278.jpg] - замкнутое линейное многообразие в Г. п. (называемое также подпространство м), то всякий элемент [img: http://localhost:8080/file/010415-279.jpg] единственным образом может быть представлен в виде суммы [img: http://localhost:8080/file/010415-280.jpg]. Это разложение наз. теоремой об ортогональном дополнении и записывается обычно в виде [img: http://localhost:8080/file/010415-281.jpg] При этом теорема справедлива также в случае, если Я есть предгильбертово пространство, а [img: http://localhost:8080/file/010415-282.jpg] - замкнутое линейное многообразие в [img: http://localhost:8080/file/010415-283.jpg]. В связи с этим уместно отметить, что нек-рые другие утверждения теории Г. п. справедливы полностью или частично и в предгильбертовых пространствах. Однако практически это обстоятельство не очень существенно, ибо встречающиеся в приложениях пространства либо полны, либо известно, как их пополнить. Множество [img: http://localhost:8080/file/010415-284.jpg] наз. ортонормиро ванным множеством, или ортонормпрованной системой, если любые различные два вектора из Аортогональны и если норма каждого вектора [img: http://localhost:8080/file/010415-285.jpg] равна единице. Ортонормированное множество наз. полным ортонормировании м множеством, если не существует ненулевого вектора из H, ортогонального ко всем векторам этого множества. Если [img: http://localhost:8080/file/010416-1.jpg] - ортонормированная последовательность, а [img: http://localhost:8080/file/010416-2.jpg] - последовательность [img: http://localhost:8080/file/010416-3.jpg] скаляров, то ряд сходится в том и только в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010416-4.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/010416-5.jpg] (теорема Пифагора в Г. п.). Пусть А - ортонормированное множество в Г. п. Н, а х - произвольный вектор из Н. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010416-6.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010416-7.jpg], за исключением конечного или счетного множества векторов. Ряд [img: http://localhost:8080/file/010416-8.jpg] Сходится, и его сумма не зависит от порядка расположения его ненулевых членов. Оператор Рявляется оператором ортогонального проектирования, или проектором, на замкнутое линейное многообразие, порождаемое множеством А. Множество [img: http://localhost:8080/file/010416-9.jpg] наз. ортонормирован-ным базисом линейного многообразия [img: http://localhost:8080/file/010416-10.jpg], если Асодержится в [img: http://localhost:8080/file/010416-11.jpg] и если для любого [img: http://localhost:8080/file/010416-12.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/010416-13.jpg] т. е. любой вектор [img: http://localhost:8080/file/010416-14.jpg] разлагается по системе А, или может быть представлен при помощи векторов системы.4. Набор чисел [img: http://localhost:8080/file/010416-15.jpg] наз. набором коэффициентовФурье элемента хпо базису А. Каждое подпространство Г. п. Н(в частности, само Н).имеет ортонормированный базис. В [img: http://localhost:8080/file/010416-16.jpg] ортонормированным базисом является набор функций [img: http://localhost:8080/file/010416-17.jpg], определяемых формулой [img: http://localhost:8080/file/010416-18.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010416-19.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010416-20.jpg]. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/010416-21.jpg] разложение вектора по базису принимает вид разложения функции по системе ортогональных функций - важный метод решения задач математич. физики. Для ортонормпрованного множества [img: http://localhost:8080/file/010416-22.jpg] следующие утверждения эквивалентны: Аполно; Аявляется ортонормированным базисом для Н; [img: http://localhost:8080/file/010416-23.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/010416-24.jpg]. Все ортонормированные базисы данного Г. п. имеют одну и ту же мощность. Этот факт позволяет определить размерность Г. п. Именно, размерностью Г. п. наз. мощность произвольного ортонормированного базиса в нем. Иногда эта размерность наз. гильбертовой размерностью (в отличие от линейной размерности Г. п., т. е. мощности базиса Гамеля (Хамеля) - понятия, не учитывающего топологич. структуру Г. п.). Два Г. п. изоморфны в том и только в том случае, когда они имеют одну и ту же размерность. С понятием размерности связано понятие дефекта, или коразмерности, подпространства. Именно, дефектом подпространства [img: http://localhost:8080/file/010416-25.jpg] Г. п. Нназ. размерность ортогонального дополнения [img: http://localhost:8080/file/010416-26.jpg] Подпространство, дефект к-рого равен 1, т. е. ортогональное дополнение к-рого одномерно, называется гиперпространством. Параллельное ему плоское множество называется гиперплоскостью. Некоторые из геометрич. понятий требуют использования терминологии линейных операторов в Г. п.; к ним относится, в частности, понятие раствора линейных многообразий. Раствором многообразий [img: http://localhost:8080/file/010416-27.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-28.jpg] в Г. п. Н наз. норма [img: http://localhost:8080/file/010416-29.jpg] разности операторов, проектирующих Нна замыкание этих линейных многообразий. Простейшие свойства раствора: [img: http://localhost:8080/file/010416-30.jpg] причем в случае строгого неравенства [img: http://localhost:8080/file/010416-31.jpg]. Во многих задачах, относящихся к Г. п., участвуют лишь конечные наборы векторов Г. п., т. е. элементы конечных линейных многообразий Г. п. Поэтому понятия и методы линейной алгебры играют в теории Г. п. большую роль. Векторы [img: http://localhost:8080/file/010416-32.jpg] в Г. п. наз. линейно независимыми, если равенство [img: http://localhost:8080/file/010416-33.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010416-34.jpg] - скаляры, возможно лишь в том случае, когда все [img: http://localhost:8080/file/010416-35.jpg] равны нулю. Для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы их Грама определитель был отличен от нуля. Счетная последовательность векторов [img: http://localhost:8080/file/010416-36.jpg] наз. линейно независимой последовательностью, если линейно независима каждая ее конечная часть. Каждая линейно независимая последовательность может быть ортогонализирована, т. е. может быть построена такая ортонормированная система [img: http://localhost:8080/file/010416-37.jpg] что для каждого п линейные оболочки множеств [img: http://localhost:8080/file/010416-38.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-39.jpg] совпадают. Это построение наз. процессом ортогонализации (ортонорма-лизации) Грама - Шмидта и осуществляется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010416-40.jpg] В множестве Г. п. определены операции прямой суммы и тензорного произведения Г. п. Прямой суммой Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-41.jpg] где каждое [img: http://localhost:8080/file/010416-42.jpg] обладает соответствующим скалярным произведением, наз. Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-43.jpg] определяемое следующим образом: в векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010416-44.jpg] - прямой сумме векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/010416-45.jpg] - задается скалярное произведение равенством [img: http://localhost:8080/file/010416-46.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010416-47.jpg] элементы из [img: http://localhost:8080/file/010416-48.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-49.jpg] в прямой сумме [img: http://localhost:8080/file/010416-50.jpg] взаимно ортогональны, и проектирование [img: http://localhost:8080/file/010416-51.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010416-52.jpg] совпадает с ортогональным проектированием [img: http://localhost:8080/file/010416-53.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010416-54.jpg] Понятие прямой суммы Г. п. обобщается на случай бесконечного множества прямых слагаемых. Пусть для каждого v из нек-рого множества Аиндексов задано Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-55.jpg]. Прямой суммой Г. п. наз. (и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010416-56.jpg]) совокупность Нвсех определенных на Афункций [img: http://localhost:8080/file/010416-57.jpg], обладающих тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/010416-58.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/010416-59.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/010416-60.jpg]. При этом в Нлинейные операции определяются равенством [img: http://localhost:8080/file/010416-61.jpg] и скалярное произведение - равенством [img: http://localhost:8080/file/010416-62.jpg] При таком способе введения линейных операций и скалярного произведения прямая сумма [img: http://localhost:8080/file/010416-63.jpg] становится Г. п. Другой важной операцией в множестве Г. п. является тензорное произведение. Тензорным произведением Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-64.jpg] наз. Г. п., определяемое следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010416-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-66.jpg] - тензорное произведение векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/010416-67.jpg] В векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010416-68.jpg] существует единственное скалярное произведение такое, что [img: http://localhost:8080/file/010416-69.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010416-70.jpg] Векторное пространство становится, таким образом, предгильбертовым пространством, пополнение к-рого есть Г. п., обозначаемое [img: http://localhost:8080/file/010416-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-72.jpg] пли [img: http://localhost:8080/file/010416-73.jpg] и наз. тензорным произведен и ем Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-74.jpg]. Г. п. образуют важный класс банаховых пространств:любое Г. и. Hесть банахово пространство относительно нормы [img: http://localhost:8080/file/010416-75.jpg] причем для любых двух векторов [img: http://localhost:8080/file/010416-76.jpg] имеет место равенство параллелограмма: [img: http://localhost:8080/file/010416-77.jpg] Равенство параллелограмма выделяет класс Г. и. среди банаховых пространств, т. е. если в действитель-яия нормированном пространстве Бдля любой пары элементов л-, [img: http://localhost:8080/file/010416-78.jpg]. имеет место равенство параллелограмма, то функция [img: http://localhost:8080/file/010416-79.jpg] удовлетворяет аксиомам скалярного произведения и тем самым превращает Вв предгильбертово пространство (а если В- банахово, то - в Г. п.). Из равенства параллелограмма следует, что Г. п. есть равномерно выпуклое пространство. Как в любом банаховом пространстве, в Г. п. можно определить две топологии - сильную (нормированную) и слабую. Эти топологии различны, но Г. п. сепарабельно в сильной топологии тогда и только тогда, когда оно сепарабельно в слабой топологии; выпуклое множество (в частности, линейное многообразие) в Г. п. сильно замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто. Как и в теории общих банаховых пространств, в теории Г. п. важную роль играет понятие сепарабельности. Г. п. сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную размерность. Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-80.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-81.jpg] сепара-бельны. Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-82.jpg] сепарабельно тогда и только тогда, когда Тне более чем счетно; Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-83.jpg] сепарабельно, если мера [img: http://localhost:8080/file/010416-84.jpg] имеет счетный базис. Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010416-85.jpg] не сепарабельно. Любой ортонормированный базис в сепарабельном Г. п. Нявляется одновременно безусловным базисом Шаудера в H, рассматриваемом как банахово пространство. Однако в сепарабельных Г. п. существуют и не ортогональные базисы Шаудера. Так, справедлива теорема (см. [7]): пусть [img: http://localhost:8080/file/010416-86.jpg] - полная система векторов в Г. п. Ни пусть [img: http://localhost:8080/file/010416-87.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-88.jpg] - наименьшее и наибольшее собственные значения Грама матрицы, [img: http://localhost:8080/file/010416-89.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010416-90.jpg] то 1) последовательность [img: http://localhost:8080/file/010416-91.jpg] есть базис в [img: http://localhost:8080/file/010416-92.jpg]; 2) существует биортогональная к [img: http://localhost:8080/file/010416-93.jpg] последовательность [img: http://localhost:8080/file/010416-94.jpg], к-рая также является базисом в Н. Как и в любом банаховом пространстве, описание множества линейных функционалов на Г. п. и исследование свойств этих функционалов имеет большое значение. Линейные функционалы в Г. п. устроены особенно просто. Всякий линейный функционал fв Г. п. Я однозначно записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/010416-95.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010416-96.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010416-97.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/010416-98.jpg]. Пространство [img: http://localhost:8080/file/010416-99.jpg] линейных функционалов f на H, сопряженное к H, изометрически антинзоморфно H (т. е. соответствие [img: http://localhost:8080/file/010416-100.jpg] изометрнчно, аддитивно н антиоднородно: [img: http://localhost:8080/file/010416-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-102.jpg]). В частности, Г. п. рефлексивно; поэтому справедливы следующие утверждения: Г. п. слабо секвенциально полно; для того чтобы подмножество Г. п. было относительно слабо компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным. Основным содержанием теории Г. н. является теория линейных операторов в Г. п. Само понятие Г. п. сформировалось в работах Д. Гильберта [2] и Э. Шмидта [14] по теории интегральных уравнений, а абстрактное определение Г. п. было дано в работах Дж. Неймана [3], Ф. Рисса [4] и М. Стоуна [13] по теории эрмитовых операторов. Теория операторов в Г. п. представляет особый важный раздел общей теории операторов но двум причинам. Во-первых, теория самосопряженных и унитарных операторов в Г. п. является не только самой разработанной частью общей теории линейных операторов, но и имеющей исключительно широкие приложения в других областях функционального анализа и в ряде других разделов математики и физики. Теория линейных операторов в Г. п. позволяет рассмотреть многие задачи математич. физики с единой общей точки зрения; прежде всего - вопросы, относящиеся к собственным значениям и собственным функциям. Кроме того, теория самосопряженных операторов в Г. п. служит математич. аппаратом квантовой механики: при описании квантовомеханич. системы наблюдаемые (энергия, импульс, координаты и т. п.) интерпретируются как самосопряженные операторы в нек-ром Г. п., а состояние системы задается элементом этого Г. п. В свою очередь, задачи квантовой механики до настоящего времени оказывают влияние на развитие теории самосопряженных операторов, а также теории алгебр операторов в Г. п. Во-вторых, интенсивно развивающаяся теория несамосопряженных операторов в Г. п. (в частности, циклических, нильпотентных, одноклеточных, сжимающих, спектральных и скалярных операторов) является важной моделью теории линейных операторов в более общих пространствах. Важный класс линейных операторов в Г. п. образуют всюду определенные непрерывные операторы, наз. также ограниченными операторами в Г. п. Если ввести в множестве [img: http://localhost:8080/file/010416-103.jpg] всех ограниченных линейных операторов в H операции сложения, умножения на число и умножения операторов, а также норму оператора, по обычным правилам (см. Линейные операторы).и определить инволюцию в [img: http://localhost:8080/file/010416-104.jpg] как переход к сопряженному оператору, то [img: http://localhost:8080/file/010416-105.jpg] становится банаховой алгеброй с инволюцией. Важнейшими классами ограниченных операторов в Г. п. являются самосопряженные операторы, унитарные операторы и нормальные операторы, так как они обладают специальными свойствами по отношению к скалярному произведению. Эти классы операторов хорошо изучены; основным инструментом в их изучении являются простейшие из ограниченных самосопряженных операторов, а именно: операторы ортогонального проектирования, или ортогональные проекторы, часто называемые просто проекторами. Способ, позволяющий строить любые ограниченные самосопряженные, унитарные и нормальные операторы в комплексном Г. п. с помощью проекторов, дается спектральным разложением соответствующих операторов, особенно простым в случае сепарабельного Г. п. Более сложным разделом теории линейных операторов в Г. п. является теория неограниченных операторов. Важнейшими неограниченными операторами в Г. н. являются замкнутые линейные операторы с плотной областью определения; в частности, неограниченные самосопряженные и нормальные операторы. Между самосопряженными и унитарными операторами в Г. п. существует взаимно однозначное соответствие, определяемое Кэли преобразованием. Большое значение имеет (в частности, в теории линейных дифференциальных операторов) класс симметричных операторов в Г. п. и теория самосопряженных расширений симметричных операторов. Неограниченные самосопряженные и нормальные операторы в комплексном Г. и. H также допускают спектральное разложение. Спектральное разложение является большим достижением теории самосопряженных и нормальных операторов в Г. п. Оно соответствует классич. теории приведения эрмитовых и нормальных комплексных матриц в n-мерном унитарном пространстве. Именно спектральное разложение и связанное с ним операторное исчисление для самосопряженных и нормальных операторов обеспечивают теории операторов в Г. п. широкую область применения во многих разделах математики. Для ограниченных самосопряженных операторов в [img: http://localhost:8080/file/010416-106.jpg] спектральное разложение было найдено Д. Гильбертом [1], к-рый также ввел важное понятие разложения единицы для самосопряженного оператора. В современный период известно несколько подходов к спектральной теории самосопряженных и нормальных операторов. Один из наиболее глубоких дает теория банаховых алгебр. Спектральное разложение для неограниченного самосопряженного оператора было найдено Дж. Нейманом [3]. Его работе предшествовали важные исследования Т. Карлемана [8], к-рый получил спектральное разложение для случая симметрического интегрального оператора, а также впервые обнаружил, что между симметрическими ограниченными и неограниченными операторами полной аналогии нет. На важность понятия самосопряженного оператора впервые обратил внимание Э. Шмидт (см. [3], с. 62). Следует отметить, что как для исследований Д. Гильберта, так и для более поздних исследований большое значение имели работы П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Т. И. Стилтьеса по классической моментов проблеме, Якоби матрицам и непрерывным дробям (см. [9]).