Гильбертово пространство с индефинитной метрикой

- гильбертово пространство Е над полем комплексных чисел, снабженное непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G, к-рая, вообще говоря, не является положительно определенной. Форму Gчасто наз. G-метрикой. Наиболее важным частным случаем Г. п. с и. м. является так наз. J-пространство: Г. п. с и. м., в к-ром форма Gопределяется нек-рой эрмитовой инволюцией J в Епо формуле [img: http://localhost:8080/file/010416-107.jpg]. В этом случае форма G обозначается также буквой J и наз. J-метрикой. Инволюция [img: http://localhost:8080/file/010416-108.jpg] допускает представление в виде [img: http://localhost:8080/file/010416-109.jpg] - ортогональные проекторы в [img: http://localhost:8080/file/010416-110.jpg] число [img: http://localhost:8080/file/010416-111.jpg] наз. рангом индефинитности J-метрики или J-пространства. Если [img: http://localhost:8080/file/010416-112.jpg], то Г. п. с и. м. [img: http://localhost:8080/file/010416-113.jpg] наз. Понтрягина пространством [img: http://localhost:8080/file/010416-114.jpg]. см. также Пространство с индефинитной метрикой. Два Г. п. с и. м. [img: http://localhost:8080/file/010416-115.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-116.jpg] наз. метрически эквивалентными, если существует линейный гомеоморфизм Uгильбертова пространства Ена пространство [img: http://localhost:8080/file/010416-117.jpg], переводящий форму G в форму [img: http://localhost:8080/file/010416-118.jpg] G-метрика, порождаемая обратимым эрмитовым оператором G по формуле [img: http://localhost:8080/file/010416-119.jpg], наз. регулярной; после введения нового скалярного произведения, метрически эквивалентного старому, регулярная G-метрика становится J-метрикой. Каждое Г. н. с и. м. с эрмитовой формой G может быть G-изометри-чески (т. е. с сохранением формы G) погружено в нек-рое J-пространство [2], [3]. Главные направления в теории Г. п. с и. м.- те же, что и в общих пространствах с индефинитной метрикой, но со значительным уклоном в спектральную теорию. Геометрия Г. п. с и. м. существенно богаче, чем у общих пространств с индефинитной метрикой. Так, в случае J-пространств имеется эффективное описание максимальных подпространств Lсреди всех неотрицательных (неположительных, нейтральных): это те L, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010416-120.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010416-121.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-122.jpg] выполнено хотя бы одно из этих равенств). Отсюда - аналог закона инерции квадратичных форм: если [img: http://localhost:8080/file/010416-123.jpg] - канонич. разложение J-пространства в сумму семидефинитных подпространств, то [img: http://localhost:8080/file/010416-124.jpg] Подпространство Lявляется максимальным неотрицательным тогда и только тогда, когда Lимеет угловой оператор K относительно Е +, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010416-125.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-126.jpg] В J-пространствах развита теория базисов, к-рая помогает изучать геометрию Г. п. с и. м., а также операторы в них J-ортонормированный базис J-пространства [img: http://localhost:8080/file/010416-127.jpg] есть базис в гильбертовом пространстве Е, удовлетворяющий условиям ([img: http://localhost:8080/file/010416-128.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010416-129.jpg])= [img: http://localhost:8080/file/010416-130.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010416-131.jpg] Для того чтобы J-ортонормированная последовательность [img: http://localhost:8080/file/010416-132.jpg] была базисом Рисса пространства Е, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010416-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010416-135.jpg] -замкнутая линейная оболочка векторов [img: http://localhost:8080/file/010416-136.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010416-137.jpg] -J-ортонормиро-ванный базис в Е, то разложение [img: http://localhost:8080/file/010416-138.jpg] есть канонич. разложение J-пространства Е. Большую группу геометрич. задач в Г. п. с и. м., возникающих в теории операторов в этих пространствах, составляют вопросы, связанные со структурой и свойствами так наз. дуальных пар подпространств Г. п. с и. м. [img: http://localhost:8080/file/010416-139.jpg], т. е. таких пар N, Р подпространств в Е, что Nи Рвзаимно J-ортогональны, причем N-неположительное, а Р - неотрицательное подпространства. Дуальная пара наз. максимальной, если [img: http://localhost:8080/file/010416-140.jpg] - максимальные семидефинитные подпространства. Теория операторов в Г. п. с и. м. Метрика G считается эрмитовой и невырожденной, а встречающиеся операторы - плотно заданными. Пусть для оператора Тс областью определения DT определен G-сопряжеиный оператор Т с равенством [img: http://localhost:8080/file/010416-141.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/010416-142.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-143.jpg] Оператор Тназ. G-cамосопряженным, если [img: http://localhost:8080/file/010416-144.jpg], и G-c имметричным, если [img: http://localhost:8080/file/010416-145.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-146.jpg] Корневые подпространства (линеалы) [img: http://localhost:8080/file/010416-147.jpg] G-симметричного оператора ТG-ортогональны; в частности, если [img: http://localhost:8080/file/010416-148.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010416-149.jpg] - нейтральное подпространство (линеал). Если G - регулярная метрика, то спектр [img: http://localhost:8080/file/010416-150.jpg] G-самосопряженного оператора Т симметричен относительно действительной оси; если - не регулярная, то это, вообще говоря, не так. J-самосопряженность оператора Травносильна самосопряженности JT. Если [img: http://localhost:8080/file/010416-151.jpg], то Кэли преобразование [img: http://localhost:8080/file/010416-152.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010416-153.jpg] есть J-унитарный оператор, т. е. такой, что [img: http://localhost:8080/file/010416-154.jpg]. Спектр [img: http://localhost:8080/file/010416-155.jpg] симметричен относительно окружности [img: http://localhost:8080/file/010416-156.jpg]. Начиная с работы Л. С. Понтрягина [1], основным вопросом теории является вопрос о существовании семидефинитных инвариантных подпространств. Пусть Т - ограниченный оператор в J-пространстве [img: http://localhost:8080/file/010416-157.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-158.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010416-159.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010416-160.jpg] (так наз. плюс-оператор); если [img: http://localhost:8080/file/010416-161.jpg] - вполне непрерывный оператор, то существует максимальное неотрицательное T-инвариантное подпространство L. Этот результат приложим, в частности, к J-унитарным операторам Uв пространствах [img: http://localhost:8080/file/010416-162.jpg], где он служит основой так наз. метода дефинизации - построения операторного полинома [img: http://localhost:8080/file/010416-163.jpg], переводящего Ев семидефинит-ное подпространство. Этот прием позволяет получать, напр., аналоги обычного спектрального разложения для J-унитарных и J-самосопряженных операторов в пространствах [img: http://localhost:8080/file/010416-164.jpg] Теория операторов в Г. п. с и. м. существенно используется в теории канонич. систем обыкновенных дифференциальных уравнений; напр., критерий устойчивости для таких уравнений следующим образом записывается в терминах оператора монодромии U:для этого необходимо и достаточно, чтобы существовала максимальная U-инвариантная дуальная пара подпространств. Другой основной потребитель описанной теории - спектральная теория квадратичных операторных пучков, важная во многих задачах математич. физики. О теории представлений в Г. п. с и. м. см. [4].