Гипергеометрическая функция

решение гипергеометрического уравнения [img: http://localhost:8080/file/010418-3.jpg] Г. ф. может быть определена с помощью так наз. р я-да Гаусса: [img: http://localhost:8080/file/010418-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-5.jpg] - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме [img: http://localhost:8080/file/010418-6.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-7.jpg] - комплексное переменное, [img: http://localhost:8080/file/010418-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-9.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/010418-10.jpg] наз. гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение пшергеометрич. уравнения (1) [img: http://localhost:8080/file/010418-11.jpg] наз. гипергеометр к ческой функцией 2-го рода. Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно при [img: http://localhost:8080/file/010418-12.jpg]; сходимость распространяется и на единичную окружность, если [img: http://localhost:8080/file/010418-13.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010418-14.jpg] сходится во всех точках единичной окружности, кроме [img: http://localhost:8080/file/010418-15.jpg]. Однако существует аналптич. продолжение Г. ф. (2) во внешность единичной окружности [img: http://localhost:8080/file/010418-16.jpg] с разрезом [img: http://localhost:8080/file/010418-17.jpg] (см. [1]). Функция [img: http://localhost:8080/file/010418-18.jpg] - однозначная аналитическая в комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010418-19.jpg] с разрезом [img: http://localhost:8080/file/010418-20.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010418-21.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010418-22.jpg] - нуль или целое отрицательное число, то ряд (2) обрывается на конечном числе членов и Г. ф. представляет собой полином относительно z. При [img: http://localhost:8080/file/010418-23.jpg] Г. ф. не определена, однако [img: http://localhost:8080/file/010418-24.jpg] Элементарные соотношения. Шесть функций [img: http://localhost:8080/file/010418-25.jpg] наз. смежными с Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010418-26.jpg]. Между функцией [img: http://localhost:8080/file/010418-27.jpg] и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр., [img: http://localhost:8080/file/010418-28.jpg] 15 формул такого типа впервые были найдены К. Гауссом (С. Gauss, см. [2], [31). Ассоциированные функции [img: http://localhost:8080/file/010418-29.jpg], где т, п, l- целые числа, могут быть получены повторными применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/010418-30.jpg] Уравнение (1) имеет 24 решения вида [img: http://localhost:8080/file/010418-31.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-32.jpg] - линейные функции [img: http://localhost:8080/file/010418-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-34.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010418-35.jpg] связаны дробно-линейным преобразованием. Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Существуют квадратичные, кубичные и более высокого порядка преобразования (см. [2] - [5]). Основные интегральные представления. Если [img: http://localhost:8080/file/010418-36.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010418-37.jpg] то имеет место формула Эйлера: [img: http://localhost:8080/file/010418-38.jpg] Разлагая [img: http://localhost:8080/file/010418-39.jpg] в биномиальный ряд и применяя контурные интегралы для бета-функции, можно получить другие интегральные представления (см. [2]). Интеграл (3) и другие аналогичные формулы, определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей плоскости z, также могут служить для аналитич. родолжения функции [img: http://localhost:8080/file/010418-40.jpg] в область [img: http://localhost:8080/file/010418-41.jpg] Существуют и другие аналнтич. продолжения (см. [1], [2]). Асимптотическое поведение Г. ф. при больших значениях |z| полностью описывается с помощью формул, дающих аналитич. родолжение в окрестность точки [img: http://localhost:8080/file/010418-42.jpg] (см. [1] - [3]). Если [img: http://localhost:8080/file/010418-43.jpg] - фиксированные числа и [img: http://localhost:8080/file/010418-44.jpg] достаточно велико, [img: http://localhost:8080/file/010418-45.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-46.jpg] то при [img: http://localhost:8080/file/010418-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-48.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010418-49.jpg] имеется аналогичное выражение. Для [img: http://localhost:8080/file/010418-50.jpg] фиксированных [img: http://localhost:8080/file/010418-51.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010418-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-53.jpg] См. также [2], [5], [6]. Представления функций через Г. ф. Элементарные функции: [img: http://localhost:8080/file/010418-54.jpg] полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода: [img: http://localhost:8080/file/010418-55.jpg] присоединенные функции Лежандра: [img: http://localhost:8080/file/010418-56.jpg] многочлены Чебышева: [img: http://localhost:8080/file/010418-57.jpg] многочлены Лежандра: [img: http://localhost:8080/file/010418-58.jpg] ультрасферические многочлены: [img: http://localhost:8080/file/010418-59.jpg] многочлены Якоби: [img: http://localhost:8080/file/010418-60.jpg] Обобщения Г. ф. Обобщенной Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010418-61.jpg] наз. решение гипергеометрич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/010418-62.jpg] -го порядка (см. [2]). Имеются и другие обобщения Г. ф., напр., на случай многих переменных (см. [2]).