Гиперкомплексного переменного функция

- функция w(z).гпперкомплексного переменного z (см. Гиперкомплексное число).над полем действительных чисел, т. е. функция на конечномерной ассоциативной алгебре [img: http://localhost:8080/file/010418-156.jpg]. В более узком смысле под Г. п. ф. понимается функция [img: http://localhost:8080/file/010418-157.jpg] со значениями в той же алгебре [img: http://localhost:8080/file/010418-158.jpg], т. е. функция [img: http://localhost:8080/file/010418-159.jpg] может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/010418-160.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-161.jpg] - базис алгебры [img: http://localhost:8080/file/010418-162.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010418-163.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-164.jpg] - система пдействительных функций от пдействительных переменных. Теория Г. п. ф. наиболее развита в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010418-165.jpg] есть алгебра кватернионов. Аналитические (регулярные) Г. п. В современных исследованиях наибольшее внимание привлекают регулярные Г. п. ф. в смысле Фютера, или F-aналитические Г. п. ф. (см. [1]). Г. п. ф. [img: http://localhost:8080/file/010418-166.jpg] наз. праворегулярноп Г. п. ф. в точке [img: http://localhost:8080/file/010418-167.jpg], если в этой точке справедливо дифференциальное уравнение (условие Фютера) [img: http://localhost:8080/file/010418-168.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-169.jpg] - частная производная функции [img: http://localhost:8080/file/010418-170.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/010418-171.jpg], причем все производные предполагаются непрерывными. Функция w(z).наз. леворегулярной Г. п. ф., если [img: http://localhost:8080/file/010418-172.jpg] В случае некоммутативной алгебры эти понятия не равносильны. Сумма п разность праворегулярных Г. п. ф. праворегулярны, но для произведения и частного это неверно. Степени переменного z не праворегулярны. Имеются ряды Тейлора и Лорана по специально построенным аналогам степеней. Условие Фютера равносильно обращению в нуль дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010418-173.jpg] гиперкомплексной дифференциальной формы [img: http://localhost:8080/file/010418-174.jpg] (для леворегулярных Г. п. ф.- формы [img: http://localhost:8080/file/010418-175.jpg]); отсюда получается специфическая интегральная теорема. Аналитической по Шефферсу Г. п. ф. [2] в точке [img: http://localhost:8080/file/010418-176.jpg] для случая коммутативной алгебры [img: http://localhost:8080/file/010418-177.jpg] наз. Г. п. ф., у к-рой дифференциал в этой точке может быть записан в виде [img: http://localhost:8080/file/010418-178.jpg] где производная [img: http://localhost:8080/file/010418-179.jpg] не зависит от [img: http://localhost:8080/file/010418-180.jpg]. Это условие для коммутативной алгебры [img: http://localhost:8080/file/010418-181.jpg] равносильно тому, что [img: http://localhost:8080/file/010418-182.jpg] и интеграл [img: http://localhost:8080/file/010418-183.jpg] не зависит от пути; Г. п. ф., аналитические по Шефферсу, F-регулярны тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010418-184.jpg] Г. п. ф. [img: http://localhost:8080/file/010418-185.jpg] наз. аналитической по Хаусдорфу [3] в точке [img: http://localhost:8080/file/010418-186.jpg], если ее дифференциал [img: http://localhost:8080/file/010418-187.jpg] есть линейная функция от [img: http://localhost:8080/file/010418-188.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/010418-189.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-190.jpg] - действительные функции от [img: http://localhost:8080/file/010418-191.jpg] Аналог степенных рядов здесь строится проще, но интеграл зависит от пути. Для коммутативной алгебры [img: http://localhost:8080/file/010418-192.jpg] определения Хаусдорфа и Шефферса эквивалентны.