Гиперэллиптическая кривая

неособая проективная модель аффинной кривой [img: http://localhost:8080/file/010418-286.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-287.jpg] - многочлен без кратных корней, нечетной степени n (случай четной степени [img: http://localhost:8080/file/010418-288.jpg] сводится к случаю нечетной - [img: http://localhost:8080/file/010418-289.jpg]). Поле функций на Г. к. (поле гиперэллиптич. функций) есть квадратичное расширение поля рациональных функций; в этом смысле оно является простейшим полем алгебраич. функций после поля рациональных функций. Г. к. характеризуются условием существования одномерного линейного ряда [img: http://localhost:8080/file/010418-290.jpg] дивизоров степени 2, определяющего морфизм Г. к. на проективную прямую степени 2. Род Г. к. равен (п-1)/2, поэтому для различных нечетных n Г. к. бирационально неэквивалентны между собой. При n=1 получается проективная прямая, при n=3 - эллиптич. кривая. По традиции кривые рода 0 или 1 к Г. к. не причисляются. На Г. к. рода g>l отношения регулярных дифференциальных форм порождают подполе рода 0 и это свойство вполне характеризует Г.