Гипоциклоида

- плоская кривая, траектория точки окружности, катящейся по другой окружности и имеющей с ней внутреннее касание. Параметрич. уравнения: [img: http://localhost:8080/file/010419-16.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-17.jpg] - радиус катящейся окружности, [img: http://localhost:8080/file/010419-18.jpg] - радиус неподвижной окружности, [img: http://localhost:8080/file/010419-19.jpg] - угол, стягиваемый дугой между точками касания окружностей. В зависимости от величины модуля [img: http://localhost:8080/file/010419-20.jpg] получаются Г. различной формы. При тцелом кривая состоит из тнепересекающихся ветвей (см. рис. а). Точки возврата [img: http://localhost:8080/file/010419-21.jpg] имеют полярные координаты [img: http://localhost:8080/file/010419-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010419-23.jpg] При тиррациональном число ветвей бесконечно, точка Мв исходное положение не возвращается; при трациональном Г. (см. рис., 6) - замкнутая алгебраич. кривая. Длина дуги от точки [img: http://localhost:8080/file/010419-24.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010419-25.jpg] Радиус кривизны: [img: http://localhost:8080/file/010419-26.jpg] Если точка находится не на катящейся окружности, а лежит вне (внутри) ее, то кривая наз. удлиненной (укороченной) гипоциклоидой или гипотрохоидой (см. Трохоида). При m=2 [img: http://localhost:8080/file/010419-27.jpg] Г.- отрезок прямой, при m=3 - Штейнера кривая, при m=4 - астроида. Г. относится к так наз. циклоидальным кривым.