Главное однородное пространство

- главный G-объект в категории алгебраич. многообразий или схем. Если S - схема, а Г - схема групп над S, то главный G-объект в категории схем над Г наз. Г. о. п. над S. В случае, когда S - спектр поля kи Г - алгебраическая k-группа, Г. о. п. над Г есть алгебраическое k-многообразие V, на к-ром Г действует (слева), и при замене k на его сепарабельное алгебранч. замыкание [img: http://localhost:8080/file/010419-95.jpg] каждая точка [img: http://localhost:8080/file/010419-96.jpg] определяет изоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/010419-97.jpg] многообразий [img: http://localhost:8080/file/010419-98.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010419-99.jpg]. Г. о. п. Vтривиально тогда и только тогда, когда V(k).не пусто. Множество классов, изоморфных Г. о. п., над гладкой алгебранч. группой Г может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий [img: http://localhost:8080/file/010419-100.jpg] (k, Г). В общем случае множество классов Г. о. п. над S-схемой групп Г совпадает с множеством одномерных неабелевых когомологий [img: http://localhost:8080/file/010419-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-102.jpg] - некоторая топология Гротендика на схеме S[2]. В ряде случаев Г. о. п. вычислено. Если k - конечное поле, то каждое Г. о. п. над связной алгебраической k-группой является тривиальным (теорема Ленга). Это же утверждение верно, если k - поле р-адических чисел, а Г - односвязная и полупростая группа (теорема Кнезера). Если [img: http://localhost:8080/file/010419-103.jpg] - мультипликативная S-схема групп, то множество классов Г. о. п. над Г совпадает с Пикара группой [img: http://localhost:8080/file/010419-104.jpg] схемы S. В частности, если S - спектр поля, то эта группа тривиальна. Если [img: http://localhost:8080/file/010419-105.jpg] - аддитивная S- схема групп, то множество классов Г. о. п. над Г совпадает с группой [img: http://localhost:8080/file/010419-106.jpg] одномерных когомологий структурного пучка [img: http://localhost:8080/file/010419-107.jpg] схемы S. В частности, это множество тривиально, если S - аффинная схема. В случае, когда k - глобальное поле (т. е. поле алгебраич. чисел или поле алгебраич. функций от одного переменного), изучение множества классов Г. о. п. над алгебраической k-группой Г основано на исследовании множества Тейта - Шафаревича III (Г), состоящего из Г. о. п. над Г, имеющих рациональные точки во всех пополнениях [img: http://localhost:8080/file/010419-108.jpg] относительно нормировании поля k. В случае, когда Г - абелева группа над полем k, множество классов Г. о. п. над Г образует группу (см. Вейля - Шатле группа).