Главный фактор

полугруппы - всякая факторполугруппа Риса (см. Полугруппа)вида [img: http://localhost:8080/file/010419-205.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010419-206.jpg] - двусторонний главный идеал данной полугруппы, порожденный элементом х, а [img: http://localhost:8080/file/010419-207.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-208.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010419-209.jpg] -класс (см. Грина отношения эквивалентности), содержащий х;если множество [img: http://localhost:8080/file/010419-210.jpg] не пусто, то оно является идеалом, а в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010419-211.jpg], считается [img: http://localhost:8080/file/010419-212.jpg]. Г. ф. полугруппы наз. также идеальным фактором. Произвольный Г. ф. полугруппы есть либо полугруппа с нулевым умножением, либо 0-простая полугруппа, либо идеально простая полугруппа (см. Простая полугруппа);последнее имеет место тогда и только тогда, когда полугруппа обладает ядром и данный Г. ф. совпадает с ядром. Полугруппа, не имеющая Г. ф. с нулевым умножением, наз. полупростой; полупростота полугруппы эквивалентна, напр., тому, что для любого ее двустороннего идеала Авыполняется равенство А 2=А. Всякая регулярная полугруппа полупроста. Если каждый Г. ф. полугруппы либо вполне 0-прост, либо вполне прост (см. Вполне простая полугруппа), то полугруппа наз. вполне полупросто п. Полугруппа вполне полупроста тогда и только тогда, когда она регулярна и удовлетворяет любому из следующих двойственных другдругу условий: для каждого [img: http://localhost:8080/file/010419-213.jpg] -класса частично упорядоченное множество содержащихся в нем [img: http://localhost:8080/file/010419-214.jpg] -классов (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010419-215.jpg] -классов) обладает минимальным элементом; при этом [img: http://localhost:8080/file/010419-216.jpg]. Произвольная полугруппа как бы собрана из своих Г. ф., это объясняет, в частности, особую роль, к-рую играют в теории полугрупп идеально простые и 0-простые полугруппы.