Глубина модуля

- одна из когомологич. характеристик модуля над коммутативным кольцом. Пусть А - нётерово кольцо, I - его идеал и пусть Месть A-модуль конечного типа. Тогда I-г лубиной модуля М наз. наименьшее целое число n, при к-ром [img: http://localhost:8080/file/010420-209.jpg] Г. м. обозначают [img: http://localhost:8080/file/010420-210.jpg], или [img: http://localhost:8080/file/010420-211.jpg]. Другое определение может быть дано в терминах М- регулярной последовательности, т. е. последовательности таких элементов [img: http://localhost:8080/file/010420-212.jpg] из А, что а i не является делителем нуля в модуле [img: http://localhost:8080/file/010420-213.jpg] I-глубина модуля Мравна длине наибольшей М- регулярной последовательности, составленной из элементов идеала I. В случае локального кольца А за I принимают обычно максимальный идеал. Верна следующая формула: [img: http://localhost:8080/file/010420-214.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010420-215.jpg] означает простой идеал А, а [img: http://localhost:8080/file/010420-216.jpg] рассматривается как модуль над локальным кольцом [img: http://localhost:8080/file/010420-217.jpg]. Понятие Г. м. было введено в [1] под назв. гомологической коразмерности. Если проективная размерность [img: http://localhost:8080/file/010420-218.jpg] модуля Мнад локальным кольцом Аконечна, то [img: http://localhost:8080/file/010420-219.jpg] В общем случае [img: http://localhost:8080/file/010420-220.jpg] не превосходит размерности модуля М. Концепция Г. м. является одним из основных инструментов исследования модулей. Так, в терминах Г. м. определяются модули и кольца Коэна - Маколея; удобным часто оказывается условие Серра (Sk).на А-модуль М: [img: http://localhost:8080/file/010420-221.jpg] для всех простых идеалов [img: http://localhost:8080/file/010420-222.jpg] в А. Наконец, Г. м. тесно связана о локальными когомологиями: утверждение [img: http://localhost:8080/file/010420-223.jpg] равносильно тому, что модули локальных когомологий [img: http://localhost:8080/file/010420-224.jpg] равны нулю при [img: http://localhost:8080/file/010420-225.jpg].