Голоморфная форма

степени рна комплексном многообразии М - дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/010420-253.jpg] типа [img: http://localhost:8080/file/010420-254.jpg], удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/010420-255.jpg], т. е. форма, к-рая в локальных координатах [img: http://localhost:8080/file/010420-256.jpg] на Мзаписывается в виде [img: http://localhost:8080/file/010420-257.jpg] где - голоморфные функции. Г. ф. степени робразуют [img: http://localhost:8080/file/010420-258.jpg] векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/010420-259.jpg] (М). над полем [img: http://localhost:8080/file/010420-260.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010420-261.jpg] - это пространство голоморфных функций на М. На компактном кэлеровом многообразии М пространство [img: http://localhost:8080/file/010420-262.jpg] совпадает с пространством [img: http://localhost:8080/file/010420-263.jpg] гармонических форм типа (р,0), откуда следует, что [img: http://localhost:8080/file/010420-264.jpg] есть первое число Бетти многообразия [1]. Г. ф. на римановой поверхности Мназ. также дифференциалами первого рода; если поверхность Мкомпактна, то [img: http://localhost:8080/file/010420-265.jpg] равна ее роду. Пространства [img: http://localhost:8080/file/010420-266.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-267.jpg] образуют локально точный комплекс относительно оператора d, наз. голоморф н. и [img: http://localhost:8080/file/010420-269.jpg] Аналогично определяются Г. ф. со значениями в нек-ром векторном аналитическом расслоении Е над М(голоморфные 0-формы здесь - голоморфные сечения расслоения). Ростки Г. ф. степени рсо значениями в Еобразуют локально свободный аналитич. учок [img: http://localhost:8080/file/010420-270.jpg]. Комплекс Дольбо форм типа [img: http://localhost:8080/file/010420-271.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-272.jpg], со значениями в Еесть тонкая резольвента этого пучка, откуда [img: http://localhost:8080/file/010420-273.jpg] (теорема Дольбо - Серра [1], [4]). Определение Г. ф. можно распространить также на комплексные аналитич. ространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство Xявляется аналитич. одпространством в области [img: http://localhost:8080/file/010420-274.jpg]. Пучок ростков голоморфных р-форм [img: http://localhost:8080/file/010420-275.jpg] на Копределяется [img: http://localhost:8080/file/010420-276.jpg] как где [img: http://localhost:8080/file/010420-277.jpg] - пучок ростков голоморфных р-форм в G, а [img: http://localhost:8080/file/010420-278.jpg] состоит из ростков форм вида [img: http://localhost:8080/file/010420-279.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010420-280.jpg] - пучок идеалов, задающий X. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства X, к-рый, однако, не является локально точным. Для того чтобы этот комплекс был локально точен в точке [img: http://localhost:8080/file/010420-281.jpg], начиная с k-й степени, достаточно, чтобы Xв окрестности точки хдопускало голоморфное стягивание на локальное аналитич. множество [img: http://localhost:8080/file/010420-282.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010420-283.jpg] (см. [3]).