Голономии группа

- одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Г. г. определяется для главного расслоенного многообразия Р со структурной группой Ли Gи базой В(обладающей счетным базисом), в к-ром задана инфинитезимальная связность Г. Одновременно она определяется для любого присоединенного к Ррасслоенного многообразия Е, слоями к-рого являются экземпляры нек-рого пространства Fпредставления группы Ли G. Связность Г в Р (соответственно в Е).определяет для любой кусочно гладкой кривой Lбазы Визоморфное отображение ГLдруг на друга слоев, соответствующих началу и концу кривой L. Каждой кусочно гладкой замкнутой кривой Lбазы В, начинающейся и оканчивающейся в точке [img: http://localhost:8080/file/010421-48.jpg], соответствует автоморфизм слоя Gx (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010421-49.jpg]) над точкой х. Множество этих автоморфизмов образует группу Ли [img: http://localhost:8080/file/010421-50.jpg], которая наз. группой голономии связности Г в точке х. Если база (линейно) связна, то [img: http://localhost:8080/file/010421-51.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010421-52.jpg] изоморфны между собой для любых [img: http://localhost:8080/file/010421-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010421-54.jpg] в В. Поэтому можно говорить о группе голономии Ф линейно связного многообразия Р(или Е).со связностью Г. Г. г. Ф х является подгруппой структурной группы G. В случае линейной связности в Рэту подгруппу можно определить непосредственно. Пусть задана точка [img: http://localhost:8080/file/010421-55.jpg] в слое [img: http://localhost:8080/file/010421-56.jpg] над точкой х. Совокупность элементов [img: http://localhost:8080/file/010421-57.jpg] таких, что точки [img: http://localhost:8080/file/010421-58.jpg] соединимы горизонтальными кривыми в Р, образует подгруппу [img: http://localhost:8080/file/010421-59.jpg] группы G, изоморфную [img: http://localhost:8080/file/010421-60.jpg]. Ограниченной (суженной) Г. г. [img: http://localhost:8080/file/010421-61.jpg] наз. подгруппа Г. г. [img: http://localhost:8080/file/010421-62.jpg], порожденная замкнутыми кривыми, гомотопными нулю. Она совпадает с линейно связной компонентой единичного элемента Г. г. [img: http://localhost:8080/file/010421-63.jpg], при этом [img: http://localhost:8080/file/010421-64.jpg] не более чем счетно. Роль Г. г. в дифференциальной геометрии расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о линейных связностях в Р. Теорема о приведении связности. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010421-65.jpg] - главное расслоенное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счеткости; Ф - Г. г. заданной в Рсвязности Г. Тогда структурная группа Gприводима к своей подгруппе Ф, а связность Г приводима к связности в приведенном расслоении [img: http://localhost:8080/file/010421-66.jpg], Г. г. к-рого совпадает с Ф. Теорема о голономии. Алгебра голономии (алгебра ограниченной Г. г.) является подалгеброй алгебры G, порожденной всеми векторами [img: http://localhost:8080/file/010421-67.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010421-68.jpg] - форма кривизны в точке у, у прооегает множество, каждая точка к-рого может быть соединена с исходной точкой y0 горизонтальным путем, [img: http://localhost:8080/file/010421-69.jpg] - произвольные горизонтальные векторы.